revista completa - ANPE BADAJOZ

“ Análisis histórico de los fundamentos lógicos de la Matemática para la clase de Bachillerato“ –Mª Remedios Macías Hernández – ISSN: 1989-9041, Autodidacta ©Russell propuso una teoría para evitar las paradojasanteriores: la teoría de los tipos. Se trata de un argumento untanto enrevesado, que permite clasificar los diferentes conjuntosque se puedan definir en términos de “tipos”, de manera que seeviten definiciones que den lugar a círculos viciosos (lasdefiniciones circulares tienen como efecto aumentar “el tipo” delos conjuntos que definen).... Pero a pesar de que, con la ayudade Whitehead, Russell desarrollo su teoría bastante en susfamosa obra “Principia Mathematica”, ésta siempre despertócierta desconfianza en la comunidad matemática. La verdadera“solución” al problema de las paradojas ha sido la creación delas diferentes Teorías axiomáticas de conjuntos, desarrolladas aprincipios del S. XX por Zermelo, Fraenkel, y luego porNeumann y Gödel.2-. ESCUELAS DE PENSAMIENTO MÁS INFLUYENTES.La aparición de las paradojas tuvo como consecuencia una nueva revisión de losfundamentos de la matemática, y se llegó a la conclusión de que el camino mas firmepara avanzar en matemáticas pasaba por el establecimiento de una axiomática. En Teoríade Conjuntos, paradojas como la de B. Russell obligan a utilizar dos caminos:1) Hay que fijar condiciones sobre que propiedades son admisibles para“determinar” conjuntos.2) Ensayar, como ocurre en las teorías axiomáticas de conjuntos, la creación de unsistema de principios a través de los cuales la noción primitiva de conjunto sea encierta forma “iluminada” (“definida implícitamente”, como se dice en ocasiones).Este segundo camino conlleva la obligación de dar una prueba de consistencia delsistema axiomático en cuestión. Dos de tales sistemas son cultivados hoy díapreferentemente: Zermelo-Fraenkel (abreviado, ZF) y Von Neumann-Bernays-Gödel(abreviado, NBG). Para ninguno de los dos ha sido dada una prueba tal de consistencia.Todo lo más que puede decirse es que en ellos no ocurren las paradojas de tipo rusellianopor evitarse en ellos la posibilidad de afirmar como existentes los conjuntosomnicomprehensivos (el conjunto de todos los conjuntos que ...). Pero ello no significaque tales sistemas se hayan librado en general de paradojas. Esta vía es la fundamentalseguida por la escuela Logicista.Por otra parte, D. Hilbert (que en 1899 había publicado una axiomática completapara la Geometría Euclídea, mucho mas sólida que la ofrecida por Euclides en la antiguaGrecia), desarrolló los conceptos necesarios para el estudio de las propiedades formalesde las axiomáticas: es lo que entonces se llamo “teoría de la prueba” y actualmenteconocemos como “metamatemática”. Siendo el principal representante de la escuelaFormalista.2.1-. El Logicismo.El Logicismo es una doctrina sobre los fundamentos de la matemática queconsidera la lógica como anterior o más fundamental que la matemática, y efectúa la107