revista completa - ANPE BADAJOZ

“ Análisis histórico de los fundamentos lógicos de la Matemática para la clase de Bachillerato“ –Mª Remedios Macías Hernández – ISSN: 1989-9041, Autodidacta ©Una vez ordenadas todas las expresiones en correcto castellano hacemos una lista,es decir, numeramos (manteniendo el orden) con E1, E2, ... todas aquellas que definanuna función en la teoría de números y suprimimos todas las demás expresiones.Llamemos fk(n) la función definida por la expresión Ek. Dado que la sucesión E1,E2, ... es infinita, la correspondiente a funciones f1(n), f2(n), ... también lo es.Consideremos ahora la siguiente expresión de Richard:“La función que para todo número natural toma, aumentando en una unidad,el valor que para ese mismo número natural toma la función que ocupa en lalista el lugar indicado por este mismo número natural”Es claro que esta expresión es equivalente a la expresión matemática: “La funciónque para todo número natural n toma el valor fn(n)+1”Ahora bien, la expresión de Richard define una función y, por tanto, ocupa un lugaren la lista. Sea la expresión Ep y sea fp(n) la función correspondiente. Entonces en virtudde la misma definición, resulta que para todo n, fp(n) = fn(n)+1, lo cual es imposible, puespara n=p tendría que ser fp(p)=fp(p)+1.Ejemplo: supongamos que cualquier número natural puede definirse de varias formasutilizando un cierto número de letras. Podemos clasificar ahora todos los númerosnaturales en dos grupos, el primero de los cuales estará formado por aquellos númerosnaturales que puedan definirse con 100 letras o menos, y el segundo los que necesiten101 letras o más. Por ejemplo: 4 es del primer grupo, pues “cuatro” tienes 6 letras.Es evidente que solo hay un número finito de naturales que puedan definirse con sólo 100letras o menos, ya que hay exactamente 27 100 +27 99 +…+27 expresiones con 100 letras omenos (variaciones). Si definimos n= “menor natural del segundo grupo que no se puededefinir con 100 letras o menos” expresión que tiene 58 letras, tenemos la paradoja: elmenor natural n definible con 100 letras o menos se puede definir con 58 letras!.b-. Paradoja de Berry.Hay otras paradojas. Una de las mas conocidas (y curiosas) se debe a Berry (unamigo de Russell, que era bibliotecario y aficionado a la lógica). Dice lo siguiente:Consideremos el conjunto A de los números naturales que no pueden definirse (enespañol) utilizando menos de cien palabras. (Este conjunto es no vacío porque el númerode posibles definiciones en español que poseen menos de 100 palabras, es finito).Sea n el mínimo de dicho conjunto. Entonces n es “el menor número natural que nopuede definirse (en español) utilizando menos de cien palabras” y, como lo hemosdefinido con menos de 100 palabras,ordenado., pero esto contradice que N está bienEsta paradoja es interesante porque su formulación no requiere (a primera vista)una alusión directa a conjuntos demasiado grandes... ya que se basa completamente enla aritmética clásica.106