revista completa - ANPE BADAJOZ

“ Análisis histórico de los fundamentos lógicos de la Matemática para la clase de Bachillerato“ –Mª Remedios Macías Hernández – ISSN: 1989-9041, Autodidacta ©conjunto formado por todos los conjuntos. Sea P(U) el conjunto de las partes de U, o loque es lo mismo, el conjunto formado por todos los subconjuntos de U. El teorema deCantor dice que el cardinal de un conjunto es menor que el cardinal del conjunto formadopor todos los subconjuntos de dicho conjunto. Es decir|U| < |P(U)| (1)Pero como P(U) es un conjunto se debe verificar que P(U) U, verificándose que |P(U)| |U| (2)Y aquí nos encontramos con la paradoja, ya que no puede suceder de formasimultánea (1) y (2). En 1897, Burali-Forti (que era asistente de Peano), descubrió unaparadoja análoga a la de Cantor, pero esta vez relativa a los números ordinales.b-. La paradoja de Russell (Antinomia de Russell).En 1902 Russell escribía una carta a Frege en la que argumentaba lo siguiente:Existen clases (i.e., extensiones de conceptos) que no se pertenecen a sı mismas (e.g., laclase de los animales de granja no es un animal de granja) y otras que sı (e.g., la clase delos conceptos abstractos es un concepto abstracto).Probablemente esta es la paradoja más conocida, y que ha dado lugar a numerosasvariantes. Para que se pueda entender la paradoja, tengamos en cuenta que existenclases o conjuntos que pueden pertenecer a sí mismos. Por ejemplo, el conjunto de todoslos conjuntos debe ser un elemento de sí mismo, al ser otro conjunto. De forma análoga,podemos indicar que si colocamos en un armario un catálogo de tapas azules quecataloga todos los libros de tapas azules, deberá catalogarse a sí mismo. La paradoja esla siguiente:Sea W el conjunto de todos los conjuntos C que no se pertenecen a sí mismos.entonces tendremos que: CW CC. Pero entonces WW lo cual significa que WW.Recíprocamente, si WW, ha de verificarse que WW. En cualquier caso, ha deverificarse de forma simultánea que W pertenece y no pertenece a W. Para entendernos,expondremos la “paradoja del barbero”: el barbero de Sevilla afeita a todas y sólo aaquellas personas de Sevilla que no se afeitan a sí mismas; la paradoja surge al averiguarsi el barbero se afeita a sí mismo o no.1.2.2 -. Paradojas semánticas.a-. Paradoja de Richard.La paradoja de Richard (1905) se refiere a la imposibilidad de una enumeración delas funciones de la teoría de números, a pesar de la aparente posibilidad de llevarlo acabo.Se consideran las funciones f tales que a todo número natural n se le hacecorresponder un número natural f(n). Supongamos que para escribir correctamente encastellano sean necesarios y suficientes 35 signos (entre letras, acento, espaciado ydemás símbolos de puntuación). Entonces, una expresión con m signos no es más queuna combinación con repetición de los 35 signos. Es claro que todas estas expresiones(con una cantidad finita de signos) se pueden ordenar, comenzando con los formados porun solo signo, después los de dos, y así sucesivamente, siguiendo el orden lexicográfico.105