I FONDAMENTI DELLA TEORIA QUANTISTICA SECONDO VON NEUMANN

0.I FONDAMENTI DELLA TEORIA QUANTISTICASECONDO VON NEUMANN

11. INTRODUZIONELa Teoria Quantistica fu elaborata agli inizi del secolo XX, perspiegare fenomeni fisici, quali lo spettro del corpo nero e dell’atomodi idrogeno, che avevano resisistito ad ogni tentativo di spiegazione daparte della Fisica Classica. La nuova teoria ha sconvolto la fisica sindalle sue fondamenta, più di quanto non fece la teoria della relatività,elaborata da Albert Einstein negli stessi anni.Una dettagliata rassegna dei lavori che condussero alla formulazionedella meccanica quantistica si può trovare in [1]. Essa è ilrisultato del lavoro di scienziati come Max Planck, Albert Einstein,Max Born, Ernest Rutherford, Louis De Broglie, Niels Bohr, WolfangPauli, Erwin Schroedinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac.La nuova teoria si formò attraverso parecchi stadi evolutivi, ed è ingrado oggi di spiegare e descrivere con una straordinaria potenza predittivai fenomeni fisici che avvengono a livello atomico, sub-atomico,nucleare, sub-nucleare, quanto quelli a livelli macroscopici.La teoria Quantistica è caratterizzata dalla profonda astrazionedella rappresentazione matematica dei suoi concetti, astrazione ancorpiù evidente se messa a confronto con la fisica classica. Ad esempio, lameccanica classica rappresenta la posizione di una particella medianteun vettore x = (x, y, z) ∈ R 3 , le cui componenti sono le proiezioni delpunto occupato dalla particella sui tre assi del sistema di riferimento.Per descrivere una di queste componenti secondo la meccanica quantisticanella formulazione di Heisenberg, occorre introdurre una matricea infinite righe e infinite colonne, i cui elementi sono funzioni del tempoche devono rispettare delle precise condizioni prescritte dalla teoria.Questa astrazione è sempre risultata incomprensibile, non solo allostudente che per la prima volta si cimenta con la disciplina, ma ancheagli uomini stessi che l’hanno creata.

2R. Feynman scrive [2] “c’era un tempo in cui sui giornali si leggevache solo dodici persone al mondo comprendevano la teoria della relatività[....]. Invece credo di poter dire con sicurezza che nessuno ancoracomprende la meccanica quantistica [....]. Se ci riuscite, cercate di nonchiedervi “ma come può essere così?” Perchè entrerete in un vicolocieco da cui nessuno è ancora uscito”.Più formulazioni della teoria quantistica si svilupparono durante la suagenesi. Le due principali sono la “meccanica ondulatoria” di ErwinSchroedinger e la “meccanica delle matrici” di Werner Heisenberg.Benchè in apparenza tali formulazioni appaiono nettamente diverse,fu possibile dimostrarne la completa equivalenza.In ogni caso, la prima formulazione della teoria quantistica, rigorosadal punto di vista matematico e logicamente consistente è opera di J.Von Neumann (vedi [3]).In questo capitolo daremo una formulazione della teoria quantisticasecondo Von Neumann in una forma più moderna, conveniente pergli scopi del presente lavoro. In particolare studieremo le nozioni diosservabili 1 − 0, stati e stati puri, che saranno utilizzate nel seguitodella tesi.2. TEORIA QUANTISTICA GENERALE2.1. Base concettualeI concetti fisici di base della teoria di Von Neuman [3] sono quello diosservabile e quello di valore di aspettazione.- Per osservabile si intende una qualunque grandezza fisica misurabilesul sistema fisico, che può assumere, fissata l’unità di misura,valori nel campo dei numeri reali. Per una particella esempi diosservabili sono le coordinate della posizione, la quantità di moto,

3il momento angolare lungo una direzione, l’energia, etc. L’insiemedi tutte le osservabili viene indicato con O.- Un valore di aspettazione (funzioni R, nella nomenclatura di VonNeumann) è una funzionev : O v → R,dove O v ⊆ Oche ad ogni osservabile A ∈ O associa un numero reale v(A) cherappresenta il valore di aspettazione della grandezza A. Pertantoesso va riferito ad un ensemble statistico di sistemi fisici. Se Aviene misurata su un numero N di sistemi di un ensemble, si otterrannoN risultati a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N . Il valore mediotende a v(A) se N → ∞.〈A〉 =∑ Ni=1 a iNIl concetto di osservabile induce le seguenti considerazioni.Osservazione 2.1. Sia A un’osservabile e ˜σ A l’insieme dei suoi possibilivalori (detto spettro fisico) e siaf : ˜σ A → Runa funzione reale. Misurando A e applicando f al risultato a di A,si ottiene un’altra osservabile che ha f(a) come risultato (Vedi Fig.1).Questa nuova osservabile viene indicata con f(A). Essenzialmente,A e f(A) misurano la stessa grandezza, con una scala diversa, sef è iniettiva.Osservazione 2.2. Se {v 1 , v 2 , ....} è un insieme numerabile di funzioniR, per ogni sequenza µ 1 , µ 2 ,... di numeri reali non negativi taliche ∑ k µ k = 1 esisterà un altro valore d’aspettazione v come combinazioneconvessa, definita su O v = ∩ k O vk , v = ∑ i µ iv i . Tale v si

4riferisce all’ensemble di N sistemi che si ottiene prendendo un numeroN(v i ) = µ i N di sistemi da ogni ensemble corrispondente a v i , e mettendoinsieme tutte le frazioni. v = ∑ i µ iv i rappresenta quindi unamiscela statistica degli ensembles descritti dalle v i .2.2. Il sistema di assiomiGli assiomi della meccanica quantistica secondo Von Neumann possonoessere enunciati come segue:Assioma I. Ad ogni sistema fisico può essere associato uno spaziodi Hilbert complesso e separabile H. Ad ogni osservabile corrispondeuno ed uno solo operatore autoaggiunto A di H. La corrispondenza èbijettiva.Per introdurre l’assioma successivo occorre premettere il teorema dellarappresentazione spettrale per operatori autoaggiunti.Teorema 2.1. (Rappresentazione spettrale). Per ogni operatore autoaggiuntoA con spettro σ(A) e dominio di definizione D A densoin H, esiste un’unica famiglia di proiettori ortogonali {Eλ A |λ ∈ R}(risoluzione dell’identità di A) non decrescente in λ, continua a destrarispetto alla norma dei vettori, con E A (−∞) = 0 e E A (∞) = I, taleche ∀g ∈ D A〈Ag|g〉 =∫ +∞−∞λd〈E A λ g|g〉(l’integrale va inteso come l’integrale di Lebesgue-Stieltjes ∫ λdα rispettoalla funzione α(λ) = 〈Eλ A g|g〉). Più brevemente scriveremo∫A = λdEλ A .σ(A)In particolare:

5- Se E A non è crescente nel punto λ 0 , cioè se esiste δ > 0 tale cheEλ A = EA λ 0, ∀λ ∈ (λ 0 − δ, λ 0 + δ), allora λ 0 /∈ σ(A), ovvero λ 0appartiene al risolvente ρ(A).- Se E A è crescente e continua in λ 0 , allora λ 0 appartiene allo spettrocontinuo.- Se E A è crescente e non continua in λ 0 , allora λ 0 appartieneallo spettro puntuale σ P (A), cioè è un autovalore.Per una trattazione matematica si veda, ad esempio, [4], [5]. Possiamoora formulare gli altri assiomi.Assioma II. Siano A ed f un’osservabile e una funzione reale (divariabile reale) misurabile; se ad A corrisponde l’operatore A, allora adf(A) corrisponde l’operatore f(A) = ∫ f(λ)dEλ A, dove EA λ rappresentala risoluzione dell’identità di A.Assioma III. Siano A, S, ..... osservabili a cui corrispondono gli operatoriA, S, .... Allora esiste un’altra osservabile A + S + ..... a cui corrispondel’operatore A+S+......Assioma IV. Se A è non negativa, nel senso che i suoi possibili valorisono non negativi, allora v(A) ≥ 0, per ogni valore d’aspettazione vtale che A ∈ O v .Assioma V. Per ogni valore d’aspettazione v, se a, b, .... sono numerireali e A, B, ... ∈ O v , allora v(aA + bB + ......) = av(A) + bv(B) + ......Gli assiomi della teoria di Von Neumann (in particolare l’assioma I)dimostrano la profonda astrazione della rappresentazione matematicadei concetti fisici nella teoria quantistica, a cui abbiamo accennato.Gli assiomi II-V affermano essenzialmente che la struttura algebricadell’insieme degli operatori di H riflette la struttura algebrica naturaledelle grandezze che esse rappresentano.

6Esempio 2.1. L’osservabile Z che ha sempre risultato 0 deve corrispondereall’operatore Z = 0. Infatti, se A è una qualunque osservabilerappresentata dall’operatore A, abbiamo Z = f(A) prendendof(λ) = 0 per ogni λ. Dall’assioma II segue allora∫∫Z = f(A) = f(λ)dE λ = 0dE λ = 0.In maniera analoga, si ottiene che l’osservabile I che ha sempre risultato1 deve corrispondere all’operatore I = 1. Ovviamente Z, I ∈ O v ,per ogni valore d’aspettazione v.3. COMPATIBILITÀ TRA OSSERVABILINella Fisica Quantistica non sempre è possibile misurare insieme, cioèsullo stesso campione individuale del sistema fisico, due osservabiliA e B. Nella Fisica Classica limitazioni di questo tipo. Per esempioin meccanica classica è possibile misurare contemporaneamente laposizione e la quantità di moto di una particella, mentre secondo lateoria quantistica non può esistere un apparato di misura che permettedi misurarle entrambe sullo stesso esemplare del sistema fisico. Inteoria quntistica si introduce allora il concetto di compatibilità.Definizione 3.1. Due osservabili A ed B sono compatibili se sonosimultaneamente misurabili.Per mostrare l’esistenza di coppie di osservabili quantistiche incompatibili,osserviamo che affinchè due osservabili siano contemporaneamentemisurabili deve esistere una procedura sperimentale che permettedi ottenere i valori di entrambe: ad ogni risultato di questo esperimento,rappresentato dal numero reale λ, deve corrispondere una benprecisa coppia (f(λ), g(λ)) di risultati di A e B. Allora, in accordo

7con l’osservazione 2.1, questo esperimento definisce una osservabile Tcon risultati λ, tali che A = f(T ) e B = g(T ). Queste considerazionipermettono di caratterizzare la compatibilità: due osservabili A e Bsono compatibili se e soltanto se sono funzioni di una terza osservabileT .Dall’assioma II e dalla definizione 3.1 segue che due osservabilisono simultaneamente misurabili se i corrispondenti operatori A e Bsono funzioni di uno stesso operatore T . La teoria degli operatorilineari in spazi di Hilbert (v. ad esempio [5]) afferma che due operatoriautoaggiunti sono funzioni di uno stesso operatore se e solo secommutano. Si ottiene quindi il seguente risultato:Teorema 3.1. Due osservabili A e B sono compatibili se e solo se icorrispondenti operatori commutano: [A, B] = 0.Esempio 3.1. (i) Lo spazio di Hilbert per descrivere una particellapuntiforme è lo spazio L 2 (R 3 ) delle funzioni di R 3 integrabili in moduloal quadrato (nelle formulazioni correnti viene sottinteso che lo spazio diHilbert è formato in realtà dalle classi di equivalenza di funzioni ugualiquasi ovunque, integrabili al quadrato). La coordinata x i , i=1,2,3,della posizione è rappresentata dall’operatoreQ i : D Qi → L 2 (R 3 )ψ → Q i ψ, (Q i ψ)(x) = x i ψ(x)dove il dominio di definizione D Qiche rende Q i autoaggiunto èD Qi = {ψ ∈ L 2 (R 3 ) : x i ψ ∈ L 2 (R 3 )}.Poichè [Q i , Q j ] = 0 ∀i, j, dal teorema 3.2 deducianmo che due diversecoordinate della posizione della particella sono sempre misurabiliinsieme.

8(ii) La quantità di moto lungo la direzione x irappresentata dall’operatoreè inveceP i : D Pi → L 2 (R 3 )(P i , ψ)(x) = −i¯h ∂ψ∂x idove ¯h è la costante di Planck diviso 2π. Poichè [Q i , P j ] = i¯hδ ij dalteorema 3.2 otteniamo che una componente della quantità di moto nonpuò essere misurata insieme alla stessa componente della posizione.Può essere invece misurata insieme ad una diversa componente dellaposizione.4. STATI QUANTISTICI E OPERATORI DENSITÀL’assioma I stabilisce che le osservabili di un sistema fisico sono rappresentatenel formalismo matetico della teria da operatori autoaggiunti.La rappresentazione matematica dei valori di aspettazione avviene attraversoi cosiddetti operatori densità, che sono operatori lineariρ : H → H,positivi, cioè 〈ψ|ρψ〉 ≥ 0 ∀ψ ∈ H, tali che T r(ρ) = 1.Von Neumann, infatti, ha dimostrato il seguente teorema [3]:Teorema 4.1. Per ogni valore di aspettazione v, esiste un operatoreρ, autoaggiunto e positivo, con T r(ρ) = 1, tale che per ogni osservabileA ∈ O v si ha:v(A) = T r(ρA) (4.1)(A é l’operatore corrispondente ad A).Dimostrazione. Utilizzeremo la notazione di Dirac, dove |l〉 indica unvettore di norma 1 e |l〉〈l| il proiettore sul sottospazio unidimensionale

9generato da |l〉. Dato un sistema ortonormale completo (sonc)(|1 >, |2 >, ..., |n >, ..) ⊆ D Apossiamo scrivere; nella notazione di Dirac,A = ∑ |n > a n,m < m|, con a nm = 〈n|A|m〉. (4.2)n,mL’operatore A, essendo l’operatore corrispondente all’osservabile A, èautoaggiunto, e quindi:Re(a nm ) = Re(a mn ), Im(a nm ) = −Im(a mn ), (4.3)dove Re indica la parte reale e Im quella immaginaria. Dalle (4.2) e(4.3) segue:A = ∑ n,m= ∑ n= ∑ n= ∑ n= ∑ n+ ∑ n,mn>m= ∑ n|n > a nm < m| = (4.4)|n >< n|a nn + ∑ n,mn≠m|n >< n|a nn + ∑ n,mn>m|n >< n|a nn + ∑ n,mn>m|n >< n|a nn + ∑ n,mn>m|n >< m|a nm =|n >< m|a nm + ∑ n,mn< m|a nm + ∑ n,mn>m|m >< n|(Re(a mn ) + iIm(a mn )) =|n >< n|a nn + ∑ n,mn>m+ ∑ |m >< n|(Re(a nm ) − iIm(a nm )) =n,mn>m|n >< m|a nm =|m >< n|a mn =|n >< m|(Re(a nm ) + iIm(a nm ))+|n >< m|(Re(a nm ) + iIm(a nm ))+

10= ∑ n+ ∑ n,mn>mGli operatori:|n >< n|a nn + ∑ n,mn>mi(|m >< n| − |m >< n|)Im(a nm ).(|n >< m| + |m >< n|)Re(a nm )+D (n,n) = |n >< n|B (n,m) = |n >< m| + |m >< n|C (n,m) = i(|n >< m| − |m >< n|)sono autoaggiunti; se indichiamo le osservabili corrispondenti rispettivamente,secondo l’Assioma I, con: D (n,n) , B (n,m) e C (n,m) , possiamoscrivere:A = ∑ nD (n,n) a nn ++ ∑ n,mn>m+ ∑ n,mn>mda cui segue, per l’Assioma V,B (n,m) Re(a nm )+C (n,m) Im(a nm ),v(A) = ∑ nv(D (n,n) )a nn ++ ∑ n,mn>mv(B (n,m) )Re(a nm )++ ∑ v(C (n,m) )Im(a (nm) ).n,mn>m

11Se poniamo:ρ nn = v(D (n,n) ) (4.5)ρ nm = 1 2 v(B(n,m) ) + 1 2 iv(C(n,m) )ρ mn = 1 2 v(B(n,m) ) − 1 2 iv(C(n,m) )n > mn > msommando e sottraendo le ultime due otteniamo:per cui:v(B (n,m) ) = ρ nm + ρ mnv(C (n,m) ) = i(ρ mn − ρ nm )v(A) = ∑ n= ∑ n= ∑ n= ∑ n+ ∑ n,mn>m+ ∑ n,mn>m+ ∑ n,mn>mρ nn a nn + ∑ (ρ nm + ρ mn )Re(a nm )+n,mn>mi(ρ mn − ρ nm )Im(a nm ) =ρ nn a nn + ∑ n,mn>mρ nm (Re(a nm ) − iIm(a nm ))+ρ mn (Re(a nm ) + iIm(a nm )) =ρ nn a nn + ∑ n,mn>mρ nm (Re(a mn ) + iIm(a mn ))+ρ mn (Re(a nm ) + iIm(a nm )) =ρ nn a nn + ∑ n,mn>m+ ∑ ρ mn a nm =n,mn>mρ nm a mn +

12= ∑ n= ∑ n+ ∑ n,mnmρ nm a mn =ρ nn a nn + ∑ n,mn≠mSe definiamo l’operatore ˆρ conρ nm a mn +ρ nm a mn = ∑ n,mρ nm a mn .〈n|ˆρ|m〉 = ρ nmallorav(A) = T r(ˆρA), (4.6)con ˆρ operatore autoaggiunto indipendente da A.Ma v(I) = 1 = T r(ˆρ · 1), quindi ˆρ deve avere traccia unitaria. Oraproviamo che ˆρ deve essere definito positivo, ossia〈φ|ˆρ|φ〉 ≥ 0∀|φ〉.Sia dunque |φ〉 ∈ H con norma unitaria e sia A |φ〉 l’osservabile corrispondentea ˆP |φ〉 = |φ >< φ|, allora, A 2 |φ〉 è l’osservabile corrispondentea ˆP 2 è quindi una quantità non negativa, pertanto|φ〉 .A2 |φ〉anche il suo valore d’aspettazione deve essere non negativo:e poichè ˆP 2|φ〉 = ˆP |φ〉 si hane segue che:v(A 2 |φ〉) = T r(ˆρ ˆP 2|φ〉) ≥ 0, (4.7)T r(ˆρ ˆP |φ〉 ) ≥ 0;

130 ≤ T r(ˆρ ˆP |φ〉 ) = ∑ n= ∑ n= ∑ n〈n|ˆρ ˆP |φ〉 |n〉〈n|ˆρ(〈φ|n〉)|φ〉〈φ|n〉〈n|ˆρ|φ〉=〈φ|ˆρ|φ〉.Infine proviamo che ˆρ dipende solo dal valore di aspettazione cui siriferisce, e non dalla base utilizzata per determinarlo.Se ˆρ ed ˆρ ′ sono due operatori statistici corrispondenti allo stesso valoredi aspettazione v, e siano, rispettivamente {|n〉} e {|µ〉} i sonc utilizzatiper determinarli. Allora qualunque sia A autoaggiunto, si haT r(ˆρA) = T r(ˆρ ′ A).Per A = ˆP |φ〉 , 〈φ|φ〉 = 1, abbiamo:T r(ˆρ ˆP |φ〉 ) = ∑ n= ∑ n= ∑ n〈n|ˆρ ˆP |φ〉 |n〉〈n|ˆρ(〈φ|n〉)|φ〉〈φ|n〉〈n|ˆρ|φ〉=〈φ|ˆρ|φ〉.T r( ˆρ ′ ˆP |φ〉 ) = ∑ n= ∑ n= ∑ n〈µ| ˆρ ′ ˆP |φ〉 |µ〉〈µ| ˆρ ′ (〈φ|µ〉)|φ〉〈φ|µ〉〈µ| ˆρ ′ |φ〉=〈φ|ˆρ ′ |φ〉.

14Quindi:〈φ|ˆρ|φ〉 = 〈φ| ˆρ ′ |φ〉e questo per ogni |φ〉 con 〈φ|φ〉 = 1, allora:ˆρ = ˆρ ′ ,cosicchè ˆρ non può dipendere dalla base scelta.Questo permette di rappresentare nel formalismo matematico ilconcetto fisico di valore d’aspettazione. L’operatore densità ρ che rappresentaun valoe d’aspettazione v viene identificato come lo statoquantistico del sistema.5. OSSERVABILI 1-0 E PROIETTORI ORTOGONALISia T una osservabile che può assumere solo due valori: 0 oppure 1. Leosservabili che hanno questa caratteristica vengono chiamate osservabili1 − 0. Mostreremo adesso che tali osservabili sono caratterizzatedall’essere rappresentate da proiettori ortogonali.Infatti, per tali osservabili è possibile identificare il valore d’aspettazionecon la probabilità di accadimento del valore 1:se indichiamo con p(1) e p(0) le probabilità dei risultati 1 e 0, rispettivamente,dovremmo avere:Allora dal teorema 4.1 otteniamo:v(T ) = 0 · p(0) + 1 · p(1) = p(1). (5.8)p(1) = v(T ) = T r(ρ · T ). (5.9)Data una qualunque osservabile A , fissiamo un intervallo ∆ = (a, b] ∈B(R), e consideriamo il funzionale caratteristico di ∆,{1, se x ∈ ∆χ ∆ : R → R, χ ∆ (x) =0, se x /∈ ∆ . .

15Allora χ ∆ (A) è un’osservabile 1 − 0 che assume il valore 1 se a ∈ ∆, eil valore 0 se a /∈ ∆.Determiniamo l’operatore autoaggiunto T ∆ corrispondente all’osservabile1 − 0 T ∆ = χ ∆ (A); usando l’Assioma I e il Teorema 2.1,∫T ∆ = χ ∆ (λ)dEλ A = lim dE λ = Eb A − Ea A .ε→0 + ∫ b+εa+εT ∆ è un proiettore. Infatti, siccome E A λè non decrescente in λµ ≤ λ implica E A µ E A λ = E A λ E A µ = E µ ,alloraT 2 ∆ =(E A b − E A a )(E A b − E A a )=Eb A2− Eb A Ea A − Ea A Eb A + EaA2=E A b − 2E A a + E A a = E A b − E A a = T ∆ .Allora, per la (5.8), la probabilità P (A, ∆) che una misurazione di Aproduca un risultato a ∈ ∆ èP (A, ∆) = T r(ρ[E A b − E A a ]). (5.10)Un numero reale a è un risultato possibile per l’osservabile A se esoltanto se per ogni δ > 0 la probablità P (A, (a − δ, a + δ]) che unamisurazione di A produca un risultato nell’intorno (a − δ, a + δ] di a èdiversa da zero.Chiameremo spettro fisico di A l’insieme chiuso ˆσ(A) dei suoi risultatipossibili (il suo complementare è aperto).Allora dal Teorema (2.1) e dalla (5.10) concludiamo cheTeorema 5.1. Un numero reale a è un risultato possibile di A se esoltanto se a ∈ σ(A).

16In altre parole lo spettro fisico di A coincide con lo spettro matematicodell’operatore A.Sia T un’osservabile 1 − 0, e T l’operatore autoaggiunto che larappresenta. Dal Teorema (5.1) si ha che σ(T ) = {0, 1}.Un operatore autoaggiunto ha lo spettro costituito dai soli autovalori0 e 1 se e soltanto se P 2 = P , cioè se e soltanto se è un proiettoreortogonale. PertantoTeorema 5.2. I proiettori ortogonali corrispondono biunivocamentealle osservabili 1-0.6. STATI PURIIn questo paragrafo studieremo l’importante classe degli “stati puri”.Un operatore densità ρ è detto puro seρ = λρ 1 + (1 − λ)ρ 2 con λ 2 < λ implica ρ 1 = ρ 2 = ρ.Dal punto di vista fisico, la purezza di ρ significa che l’ensemblestatistico che esso descrive non può essere ottenuto come miscela statisticadi ensembles descritti da differenti funzioni R (Osserv. 2.2).Un operatore densità ha sempre spettro puntuale puro σ(ρ) =(λ 1 , λ 2 ....), con λ i geq0 (V. [6]). Siano M 1 , M 2 , ..., M n , gli autospazi corrispondentiagli autovalori λ 1 , λ 2 , ...., λ n , .... Indichiamo con P 1 , P 2 , ..., P n , ...i proiettori che proiettano su tali autospazi.Alloraρ = ∑ λ i P i .iProposizione 6.1. Se λ i > 0, alloradimM i < +∞.

17Dimostrazione. Se dimM i0 = +∞ e λ i0 > 0, poichè dimM i = T r(P i )si avrebbe:T r(ρ) = ∑ iλ i T r(P i ) ≥ λ i0 T r(P i0 ) = ∞mentre T r(ρ) = 1.Se ρ è un operatore densità puro, allora ovviamente, P i = P jtali che λ i ≠ 0, λ j ≠ 0.Pertanto, se ρ è puro,ρ = kP∀i, jdove P è un proiettore di rango finito, per la Proposizione 6.1, ek = 1T r(P )dove T r(P ) è la dimensione dell’immagine M di P e pertanto è unnumero naturale:T r(P ) = n.Ora sia u 1 , u 2 , ..., u n una base ortonormale di M. AlloraP =n∑|u i >< u i |i=1e di conseguenzaρ =n∑i=11n |u i >< u i |.Pertanto, se ρ è puro, |u 1 >< u 1 | = |u 2 >< u 2 | = ...... = |u n >< u n |.Allora ogni operatore d ensità puro è un proiettore di rango 1, quindiesiste un vettore ψ ∈ H, ‖ψ‖ = 1 tale cheρ = |ψ >< ψ|.

18Per gli stati puri ρ = |ψ >< ψ| il valore di aspettazione di un’osservabileA rappresentata dall’operatore A si può esprimere nel seguentemodo:v(A) = 〈ψ|Aψ〉. (6.1)Infatti, sia {u n } una base ortonormale di H tale che u 1 = ψ. Allora,dal teorema 4.1 si ha:v(A) =T r(ρA) = ∑ k〈u k |ρAu k 〉=〈u 1 |ρAu 1 〉 + ∑ k>1〈u k |ρAu k 〉=〈ψ|ψ〉〈ψ|Aψ〉 + ∑ k>1〈u k |u 1 〉〈u 1 |Au k 〉 = 〈ψ|Aψ〉.[1] B. Van der Waerden, Sources of quantum mechanics, North-HollandPublishing co., Amsterdam, 1967[2] R. Feynman, La legge fisica, Universale scientifica Boringhieri,Torino, 1971[3] J. von Neumann, Mathematical foundations of quantum mechanics,Princeton University Press, Princeton 1955[4] E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications,John Wiley e Sons, New York 1978[5] F. Riesz, B. Sz. Nagy, Lecons D’analyse fonctionnelle, Gauthier-Villars, Paris 1972.