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La théorie du chaos 97Exemples : Applications du théorème de Birkhoff.1. Temps de séjour moyen.Soit ( Ω; β ; µ ; ϕ ) un système dynamique mesuré et χ A est la fonction indicatricede l’ensemble A inclu dans β.En appliquant le théorème précedent pour f = χ A ∈ L 1 (µ), on obtient :limN→+∞N−11 ∑Nn=0χ A (ϕ n (x)) = 1 ∫µ(Ω)χ A dµ = µ(A)µ(Ω)Ceci signifie que le temps de séjour moyen du système dynamique passé dansA, c’est à dire la proportion des élements de l’orbite de x qui sont dans A, estégal au rapport µ(A)µ(Ω)De plus comme la mesure µ est une probabilité sur Ω, alors le temps de séjourmoyen est égal à la mesure de l’ensemble A.2. Caractérisation d’une application ergodique.On considère ( Ω; β ; µ ; ϕ ) un système dynamique mesuré.Alors : ϕ est ergodique si et seulement siN−11 ∑∀A, B ∈ β : lim µ(ϕ −n (A ∩ B)) = µ(A)µ(B)N→+∞ Nn=0Preuve :′ −→ ′ Supposons que ϕ soit ergodique.D’après le théorème de Birkhoff et ∀f ∈ L 1 (µ), on a :f ∗ = limN→+∞1NN−1∑n=0f(ϕ n (x)) = 1 ∫fdµµ(Ω) Ωµ − pp.Comme Ω est un espace de probabiilité : f ∗ (x) = ∫ fdµ µ − ppΩOn prend f = 1 A où A ∈∑β1On a alors : lim N−1N→+∞ N n=0 1 A(ϕ n ) = ∫ 1 Ω Adµ = µ(A) µ − pp.∑1∀B ∈ β : lim N−1N→+∞ N n=0 1 A(ϕ n )1 B = µ(A)1 B µ − pp.Or :| 1 NN−1∑n=01 A (ϕ n )1 B | 1 NN−1∑n=0|1 A (ϕ n )|1 B | 1 NN−1∑n=01 = 1