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96 Geoffrey Nichil∫D N kf ∗ dµ k + 1N µ(DN k ) = k N µ(DN k ) + 1 N µ(DN k )∫ ∫f ∗ dµ fdµ + 1 N µ(DN k )D N kOr : Ω = ⋃ k∈Z DN k , ∀N 1 et les DN kDonc µ(Ω) = ∑ k∈Z µ(DN k )Et ∫ f ∗ dµ = ∑ ∫Ω k∈Zf ∗ dµDkNDonc ∑ ∫k∈Zf ∗ dµ ∑ ∫DkN k∈ZD’ou : ∫ f ∗ dµ ∫ µ(Ω)fdµ +Ω Ω NSi N → +∞ :∫D N kΩD N ksont disjoints.fdµ + 1 N∫f ∗ dµ Ω∑k∈Z µ(DN k )fdµ (1)On remplace maintenant f par −f, cela donne :∫ ∫(−f) ∗ dµ (−f)dµΩΩOr : (−f) ∗ sup = −finf ∗ donc : ∫ ∫− finf ∗ dµ −ΩD’où :Comme f ∗ inf = f ∗ sup = f ∗ on a :∫Avec (1) et (2) on obtient :Ω∫Ωf ∗ inf dµ ∫∫f ∗ dµ ∫Ω∫f ∗ dµ =ΩfdµΩfdµΩfdµ (2)Ωfdµ4. Conclusion : En appliquant la proposition 1 on obtient :limN−→+∞N−11 ∑Nn=0f(ϕ n (x)) = 1 ∫µ(Ω)fdµRemarque. Un système dynamique ( Ω; β ; µ; ϕ ) vérifiant le théorème de Birkhoff estappelé système ergodique.