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94 Geoffrey NichilOr : ‖f(ϕ n )‖ 1= ‖f‖ 1En effet on peut associer à la mesure µ une mesure image notée ϕ ∗µ sur (Ω, β)définie par : ϕ ∗µ (B) = µ(ϕ −1 (B)) ∀B ∈ βet dans ce cas : ∫ fdϕ ∗µ = ∫ f ◦ dµDonc : ‖f ◦ ϕ‖ 1= ‖f‖ 1On montre ensuite par récurrence que ‖f(ϕ n )‖ 1= ‖f‖ 1Donc :car : f ∈ L 1 (µ)∫g N dµ 1 NDonc ∀N ∈ N : ∫ g N dµ < +∞Donc lim inf ∫ g N dµ < +∞N−1∑n=0On utilise ensuite le théorème suivant :∫|f(x)|dµ = ‖f‖ 1< +∞Théorème 2.4. Théorème de FatouSoit (f n ) n une suite quelconque de ¯M + (Ω, ̥)( où ̥ est une tribu surl’ensemble Ω).Alors on a : ∫∫lim inf f n dµ lim inf f f dµDonc :Or∫∫lim g Ndµ lim infN→+∞ N→+∞g N dµ < +∞lim g N(x) = lim | 1 N−1∑f(ϕ n (x))|N→+∞ N→+∞ Nlim g N(x) = |N→+∞Donc ∫ |f ∗ dµ| < +∞ c’est à dire :limN→+∞n=0n=0N−11 ∑f(ϕ n (x))| = |f ∗ |Nf ∗ ∈ L 1 (µ)2. Montrons que f ∗ (ϕ k (x)) = f ∗ (x) :On a montré dans la première partie de la démonstration que :{ f∗sup ◦ ϕ = f ∗ supf ∗ inf ◦ ϕ = f ∗ inf