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90 Geoffrey Nichil1. (a) Montrons tout d’abord que fsup ∗ = fsup ∗ ◦ ϕet finf ∗ = f inf ∗ ◦ ϕ :On pose :{ ∑ f∗ 1sup = lim sup N−1N→+∞ N n=0 f(ϕn (x))fsup ∗ = lim inf ∑N→+∞ 1 N−1N n=0 f(ϕn (x))∑On note : a N (x) = 1 N−1N n=0 f(ϕn (x))On a : { ∑aN+1 (x) = 1 NN+1 n=0 f(ϕn (x))∑a N (ϕ(x)) = 1 N−1N n=0 f(ϕn+1 (x))Donc :N + 1Na N+1(x) − a N (ϕ(x)) = 1 N∑f(ϕ n (x)) − 1 NNn=0N + 1Na N+1(x) − a N (ϕ(x)) = 1 N f(x) + 1 NN−1∑n=0N∑f(ϕ n (x)) − 1 Nn=1N + 1Na N+1(x) − a N (ϕ(x)) = 1 N f(x)– Par passage au ’sup’ on obtient :Donc :lim supN→+∞Finallement :N + 1Nlim supN→+∞a N+1(x) − lim sup a N (ϕ(x)) = lim supN→+∞N→+∞N + 1Na N+1(x) − lim sup a N (ϕ(x)) = 0N→+∞f ∗ sup ◦ ϕ = f ∗ sup– De même par passage à ’l’inf’ on obtient :Donc :lim infN→+∞Finallement :N + 1Na N+1(x) − lim inf a N(ϕ(x)) = lim infN→+∞ N→+∞lim infN→+∞On a donc montré que :N + 1Na N+1(x) − lim inf a N(ϕ(x)) = 0N→+∞f ∗ inf ◦ ϕ = f ∗ inf{ f∗sup ◦ ϕ = f ∗ supf ∗ inf ◦ ϕ = f ∗ inff(ϕ n+1 (x))N∑f(ϕ n (x))n=11N f(x)1N f(x)