Untitled

La théorie du chaos 89Théorème ergodiqueOn définit maintenant la moyenne temporelle (si elle existe) et la moyenne spatiale d’uneapplication f définie sur Ω et à valeurs dans Ω.Définition 11.Soit ( Ω ; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré.La moyenne temporelle (si elle existe) d’une fonction f ∈ L 1 (µ) est :N−1f ∗ 1 ∑= lim N→+∞ f(ϕ n (x))Nn=0Définition 12.Soit ( Ω ; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré.La moyenne spatiale d’une fonction f ∈ L(µ) est :¯f = 1 ∫fdµ µ − ppµ(Ω)On énonce maintenant le résultat majeur de la théorie ergodique :Théorème 2.3. Théorème de BirkhoffSoit ( Ω; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré, où Ω est de mesure finie, et f ∈ L 1 (µ).Alors :1. f ∗ existe µ presque partout et f ∗ ∈ L 1 (µ).2. f ∗ (ϕ(x)) = f ∗ (x)3. ∫ Ω fdµ = ∫ Ω f ∗ dµ µ presque partout.4. Si de plus ϕ est ergodique alors : f ∗ = ¯f, ie :limN−→+∞N−11 ∑Nn=0f(ϕ n (x)) = 1 ∫µ(Ω)fdµµ − ppPreuve. Preuve du théorème de BirkhoffOn pose :{ f∗ 1sup = lim sup N→+∞ Nfsup ∗ = lim inf N→+∞ 1 N∑ N−1∑ N−1n=0 f(ϕn (x))n=0 f(ϕn (x))