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88 Geoffrey Nichil– ’→’On suppose que ϕ est ergodique. Soit g une fonction mesurable invaraiante.Par l’absurde : on suppose { que g n’est pas constante.A = {x ∈ Ω : g(x) r}Alors ∃r ∈ R tel queB = {x ∈ Ω : g(x) > r}On a d’autre part :ϕ −1 (A) = {x ∈ Ω : ϕ(x) ∈ A}ϕ −1 (A) = {x ∈ Ω : g(ϕ(x)) r}ϕ −1 (A) = {x ∈ Ω : g(x) r} = ADe même ϕ −1 (B) = B {0 < µ(A)Comme A ∩ B = ∅ on a :µ(B) < 1 contradictionDonc g est constante.– ’←’ Par contraposée : on suppose que ϕ n’est pas ergodique.Donc ∃C ∈ β tel que µ(C) ≠ 0 et µ(C) ≠ 1.On pose g = 1 C ou 1 C est la fonction indicatrice de C.On a : g(ϕ(x)) = 1 C (ϕ(x)) = 1 ϕ −1 (C)(x) = 1 C (x) = g(x)Donc g(ϕ(x)) = g(x)Donc : si ϕ n’est pas ergodique alors il existe g non constante tel que g(ϕ(x)) = g(x).Donc si g est une fonction mesurable et invariante par ϕ alors ϕ est ergodique.Exemple 3 : Application ergodique.Soit (Ω, β, µ) un espace mesuré tel que µ(Ω) = 1.On définit sur l’espace produit (Ω N , β ⊗N , µ ⊗N ) une application ϕ tel que :ϕ({x i }) = {x i+1 }Montrons que ϕ est ergodique.Soit f une application invariante et intégrable, ∀ǫ > 0, ∃g ∈ L 1 tel que : |g−f|