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La théorie du chaos 87Exemple :La probabilité pour qu’après un battage assez long une carte occupe une placedonnée est indépendante de sa position initiale. Si le battage n’était pas unphénomène ergodique alors les joueurs de cartes ne pourraient pas faire confianceà cette méthode pour obtenir une situation de hasard nécessaire au début dechaque partie.Cette indépendance satisfait à notre intuition mais qui n’a jamais douté en pratique decette indépendance? Voici une histoire amusante :Un jour, un malade qui devait subir une lourde intervention chirurgicale questionnason medecin :- Docteur, combien de chance ais-je de m’en sortir?- 99%, répond le docteur.- Et combien avez vous réussi d’opérations comme celle la ?- 99, répond le docteur.Ceci est un paradoxe à notre intuition.Définition 10.Soit ( Ω ; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré tel que : µ(Ω) = 1L’application ϕ est ergodique si :Remarque.∀A ∈ β : ϕ −1 (A) = A alors µ(A) = 0 ou µ(A) = 11. Le système dynamique mesuré ( Ω; β ; µ; ϕ ) où ϕ est ergodique, est appelé systèmedynamique indécomposable. Un système ( Ω; β ; µ; ϕ ) est donc indécomposable sitout ensemble A, mesurable, invariant et inclu dans Ω, est de mesure égale à 0 ou 1.2. Un système dynamique indécomposable peut tout de même être scindé en plusieurssous systèmes de mesures nulles.Proposition 1.Soit (Ω, β, µ, ϕ) un système dynamique mesuré.Une application ϕ est ergodique si et seulement si les fonctions mesurables invariantes parϕ ( ie : f(ϕ(x)) = f(x)) sont constante µ − pp.Preuve.