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86 Geoffrey Nichiltiroir après l’instant x 0 .Le théorème de récurence de Poincaré nous dit que l’état A va se repoduire une infinitéde fois. Mais dans la réalité , ce genre de phénomène n’a jamais était observé :c’est le paradoxe de Zermelo.Il est expliqué par le fait que la durée des cycles de récurences dans le théorèmede Poincaré peut dépasser la durée de vie de la galaxie, mais ce résulat peut êtreretrouvé en simulant ce système sur un ordinateur.2.3 Théorème ergodique et transformation mélangeanteL’objectif de cette partie est de simplifier l’étude des systèmes dynamiques.En effet, on veut décomposer la dynamique d’un système en sous dynamiques plus simples.Pour ce faire on va étudier des systèmes du type ( Ω; β ; µ ; ϕ ) où la transformation ϕ estirréductible, c’est à dire que l’on ne peut « scinder »en plusieurs parties l’étude de ϕ.La notion d’ergodicité nous permettra de « constater »si une application est irréductibleet de voir si un système dynamique est indécomposable.Enfin le théorème ergodique nous permettra de répondre complètement à la question dutemps de séjour moyen d’une orbite au sein d’un ensemble mesurable.ErgodicitéOn peut également définir l’ergodicité comme la propriété d’un système qui tend vers unétat final indépendant de son état initial.