Untitled

La théorie du chaos 85ϕ p (U p ) =+∞⋃k=0ϕ p (U p ) = U 0ϕ −k (A)Donc µ(U 0 ) = µ(ϕ p (U p )) = µ(U p ) car ϕ préserve la mesure.Donc µ(U 0 \ U p ) = µ(U 0 ) − µ(U p ) = 0Comme A est inclue dans U 0 , la mesure de l’ensemble des points qui est dans A et qui neretourne pas dans A est donc nulle : µ({x ∈ A : ϕ −k (x) /∈ A}) = 0En effet :{x ∈ A : ϕ k (x) /∈ A} = {x ∈ A : ∀k, x /∈ ϕ −k (A)}{x ∈ A : ∀k 1ϕ −k (x) /∈ A} = {x ∈ A : ∃k, x ∈ ϕ −k (A) c }{x ∈ A : ∀k 1ϕ −k (x) /∈ A} = A ∩ ⋂ k1ϕ −k (A) c{x ∈ A : ∀k 1ϕ −k (x) /∈ A} = A ∩ ( ⋃ k1ϕ −k (A)) c{x ∈ A : ∀k 1ϕ −k c(x) /∈ A} = A ∩ U 1{x ∈ A : ∀k 1ϕ −k (x) /∈ A} = A\U 1Comme A est inclue dans U 0 on a bien : µ(A\U 1 ) = 0Remarque.1. Dans un système dynamique chaotique la fréquence de ce phénomène est extrêmentrare (de l’ordre de l’ge de la galaxie).2. Il existe une autre version du théorème de Poincaré disant que l’application ϕ reviendraune infinité de fois dans A, mais sa démonstration utilise le théorème deBirkhof.Exemples :1. Cf introduction et le « visage de Poincaré ».2. Paradoxe de Zermelo.On considère un gaz enfermé dans un tiroir.Un gaz, en mécanique classique, est réprésenté par un grand nombre de moléculesintéragissant les unes avec les autres. Ce type de système est appelé système hamiltonien.Soit ϕ l’application qui à un état initial fait correspondre l’état suivant, soit : ϕ({x i }) ={x i+1 }. On peut créer une mesure µ sur ce système tel que ϕ préserve cette mesure.Soit A := « toutes les molécules se trouvent à gauche dans le tiroir ».On suppose qu’à x 0 A est vérifié. Naturellement le gaz va se disperser dans tout le