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84 Geoffrey Nichild’un système dynamique. C’est pourquoi on considère des exposants de Lyapunov à tempsfini, soit en reprenant l’exemple d’une itération à une variable :λ s = 1 ∑s−1log |F ′ (X s ′)|ss ′ =0Mais cette quantité peut fluctuer tout au long de la trajectoire. Ainsi, dans la pratique ilsera plus judicieux de décrire la dynamique du système sous forme statistique. On utiliseradonc une approche probabiliste pour évaluer la divergence des trajectoires d’un systèmechaotique.Dans un premier temps on présentera le résultat principal de la théorie ergodique : lethéorème de Poincaré.On énoncera ensuite différentes notions concernant l’ergodicité, notamment le théorème deBirkhoff, ainsi que la notion de système dynamique ergodique.Pour conclure, on établiera une définition ergodique du chaos.2.2 Théorème de récurrence de PoincaréOn se pose maintenant la question suivante :« Si l’on considère une partie A de la tribu β et une condition initiale x 0 ∈ Ω,est ce que l’orbite de x 0 sous l’action de ϕ visitera l’ensemble A et ce combiende fois? »L’un des premiers résultats de la théorie ergodique donne une réponse partielle à cettequestion.Théorème 2.2. Théorème de récurrence de PoincaréSoit ( Ω; β ; µ; ϕ ) un système dynamique mesuré, ie β est une tribu sur Ω et ϕ est uneapplication préservant la mesure µ.Soit A une partie de Ω.Alors pour presque tout x 0 ∈ A, il existe k 0 tel que ϕ k (x 0 ) ∈ A. On dit également quepresque tous les points x 0 ∈ A sont récurrents par rapport à A.Preuve.On pose : U p = ϕ −p (A) ∪ ϕ −(p+1) (A) ∪ ..... ∪ ϕ −k (A) ∪ .... = ⋃ +∞s=p ϕ−s (A)où p 0On a : ∀p 0, U p ⊆ Ω ⇒ µ(U p ) µ(Ω) car µ est une mesure.On a : ∀p 0, U p ⊆ U 0 car U 0 = ⋃ +∞s=0 ϕ−s (A)On a également :ϕ p (U p ) = ϕ p (ϕ −p (A) ∪ ϕ −(p+1) (A) ∪ ..... ∪ ϕ −k (A) ∪ ....)ϕ p (U p ) = A ∪ ϕ −1 (A) ∪ ϕ −2 (A) ∪ ....ϕ −k (A) ∪ ....