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La théorie du chaos 83On prend ensuite la limite du log de la dernière expression afin d’obtenir letaux local de divergence, soit :γ = lim ( ∏s−1s→+∞s ′ =0|F ′ (X s′)|) 1/sDéfinition 9.On appelle plus grand exposant de Lyapunov la moyenne temporelle du taux local de divergencele long de la trajectoire de référence, soit λ = log γOn peut de la même manière obtenir le plus grand exposant de Lyapunov pour une itérationd-dimensionelle.On peut également, par quelques astuces, obtenir le spectre de Lyapunov :Sp(Lyap)= λ 1 ,...., λ d où λ 1 = λ.Voici maintenant une caractérisation des attracteurs d’un système dynamique en fonctiondu spectre de Lyapunov :Fig. 17 – Caractérisation des attracteurs.Obervations : On considère le cas continu :– le fait d’avoir un exposant nul dans le spectre de Lyapunov traduit le faitque la distance entre deux points d’une même orbite séparés d’un intervallede temps fixe, ne peut ni crotre indéfiniment ni tendre vers 0. C’est à direque l’attracteur ne se réduit pas à un point fixe et contient l’ensemble destrajectoires.– le fait d’avoir un ou plusieurs exposants positifs traduit le fait que la trajectoirepeut être instable dans une ou plusieurs directions.Ceci nous ammène au théorème suivant :Théorème 2.1.Un système est chaotique si son spectre de Lyapunov possède au moins un exposant positif.Remarquons toutefois que l’information moyenne contenue dans le spectre de Lyapunov estd’un intérêt théorique, en pratique on s’intéresse à la limite de prédictibilité des trajectoires