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82 Geoffrey Nichil– B = [k2 −n−1 ; (k + 1)2 −n−1 ] de mesure µ(B) = p N+1 q n−N– C = [1/2+k2 −n−1 ; 1/2+(k+1)2 −n−1 ] de mesure µ(C) = p N q n+1−NComme S −1 (A) = B ∪ C on obtient donc :µ(S −1 (A)) = µ(B ∪ C) = µ(B) + µ(C) = µ(A)(p + q) = µ(A)Par conséquent S préserve la mesure de tout intervalle dyadique. Or tout intervalledyadique engendre la tribu β, donc S préserve la mesure binomiale.Définition 8.Soit {ϕ s ;s ∈ N ou Z} un système dynamique à temps discret de générateur ϕ.On appelle système dynamique mesuré l’espace probabilisé ( Ω; β ; µ ) muni de l’applicationϕ préservant la mesure, on le note ( Ω ; β ; µ; ϕ ).Pour définir qualitativement la nature d’un système dynamique, on cherche à mesurer lacomplexité de sa dynamique.On a vu précedemment que les attracteurs étaient représentatifs de l’état d’un système etdonc de sa complexité, notamment un attracteur étrange est représentatif d’un état chaotique.Il est donc naturel de chercher à établir une classification des systèmes dynamiquesen fonction de leurs attracteurs.On a également vu que l’une des propriétés essentielles d’un système chaotique était las-c-i.Pour mesurer la complexité d’un système dynamique il est donc logique de chercher à mesurerle taux de divergence moyen entre les trajectoires.Exemple 2 :On considère une itération à une variable : X s+1 = F(X s ) et la trajectoire deréférence X s , s = 0, 1, .... issue de la condition initiale X 0 .On perturbe la condition initiale de δX 0 : ˜X0 = X 0 + δX 0Déterminons l’écart entre les trajectoires issues de ces deux conditions initialesinfiniment proches. On a :˜X 1 = X 1 + δX 1 = F(X 0 + δX 0 ) = F(X 0 ) + F ′ (X 0 )δX 0où F ′ = dFdXLa distance entre les deux trajectoires après une itération est donnée par :|δX 1 | = |F ′ (X 0 )δX 0 | = |F ′ (X 0 )||δX 0 |soit après s itérations :|δX s | = ∏ s−1s ′ =0 |F ′ (X s′)||δX 0 |.Pour une trajectoire quelconque, on peut définir : γ s = |δXs||δX 0 | = ∏ s−1s ′ =0 |F ′ (X s′)|.