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La théorie du chaos 812 Approche ergodique.2.1 Motivation.Le mot « Ergodique »est issu des termes grecques ǫργoν (ergon=travail) et oδoς (odos=route), signifiant « chemin d’énergie ». C’est Boltzman qui introduit ce concept dès 1885lorsqu’il étudiait la théorie des gaz cinétiques. La théorie ergodique repose sur le principesuivant : il est équivalent de considérer moyenne temporelle et moyenne spatiale.L’objet de cette théorie est l’étude des systèmes dynamiques mesurés sur lesquels agissentune transformation préservant la mesure.Définissons à présent ces notions.On traitera uniquement, dans cette partie, des systèmes dynamiques à temps discret.Définition 7.Soit ( Ω; β ; µ ) un espace probabilisé, où β est la tribu de Borel et µ la mesure de Borel-Lebesgue associé.Soit ϕ : Ω −→ Ω une application.On dit que ϕ est une application préservant la mesure si :∀A ∈ β : µ(ϕ −1 (A)) = µ(A)Remarque.Pour vérifier que ϕ préserve la mesure, il suffit de le vérifier pour n’importe quel ensembleappartenant à une famille qui endendre β.Exemple 1 : Système dynamique préservant la mesure.On considère le système dynamique mesuré : ([0, 1], β, µ, S)où µ est la mesure binomiale déterminée par p et q , β est la tribuborélienne sur [0, 1] et S : [0, 1] −→ [0, 1] tel que{2x si 0 x 1/2x ↦−→2x + 1 si 1/2 < x 1On considère l’intervalle dyadique suivant :A = [k2 −n , (k + 1)2 −n ] où 0 k 2 n − 1Cette intervalle A est de mesure : µ(A) = p N q n−N où N est le nombre de 0 dansla décomposition binaire de 2 n (Cf annexe 8).A a pour image réciproque par S, la réunion des deux intervalles suivante :