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76 Geoffrey NichilDéfinition 5.Un attracteur A pour l’application f : Ω −→ Ω , Ω ⊆ R n , Ω borné est le plus petit ensemblecompact tel que :B := {x ∈ Ω : lim infs→+∞ y∈A |fs (x) − y| = 0} ≠ ∅On définit maintenant le principe de bassin d’attraction,Définition 6.Soit (Ω, {ϕ s ; s ∈ G}) un flot. On suppose que Ω est un espace topologique séparé.Soit a ∈ Ω un point d’équilibre.On appelle bassin d’attraction du point a l’ensemble :{x ∈ Ω, ∀s ∈ G, s 0 : ϕ s (x)est définie et lims→+∞ ϕ s(x) = a}On appelle bassin de répulsion du point a l’ensemble :{x Ω, ∀s ∈ G, s 0 : ϕ s (x)est définie et lims→+∞ ϕ s(x) = a}Remarquons, au passage, qu’un point d’équilibre ’a’ d’un flot (Ω, {ϕ s ; s ∈ G}) est attractifsi et seulement si son bassin d’attraction est un voisinage de celui-ci.Il existe une variante de théorème de Lyapunov, utilisant également le principe de La Salleet reliant le bassin d’attraction et la stabilité d’un point d’équilibre, elle est énoncée enannexe 7.Illustrons désormais, les différentes notions que nous venons d’énoncer autour du modèlede Lorentz :Exemple 4 : Modèle de Lorentz représentatif des principaux mouvements de l’atmosphère.On considère le système autonome, ie ne dépendant pas du temps :⎧⎨ X ′ = η(Y − X)Y ′ = rX − XZ − Y⎩Z ′ = XY − bZoù :– η = nombre de prandt =10– r = nombre de Rayleight > 0– b = 8/3
La théorie du chaos 77On étudie le comportement de ce modèle selon le paramètre r :– si r ∈]O, 1[ :0 R 3 est l’unique point d’équilibre, 0 R 3 est asymptotiquement stable.Ce cas est représentatif d’un état de conduction pure, sans convection.
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Travail d’initiative personnelle
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Table des matièresOphélie Cinarel
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8 Ophélie Cinarelli - Emanuelle Cl
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10 Ophélie Cinarelli - Emanuelle C
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Page 28 and 29: 26 Cédric MollIntroductionLes hami
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Page 34 and 35: 32 Cédric MollRevenons alors à la
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