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La théorie du chaos 75Remarquons qu’un point d’équilibre ω-stable n’est pas forcément attractif, et reciproquement.En effet,Exemple 3 : Equation différentielle dans R 3 .⎧⎨On considère l’équation différentielle :⎩ẋ = 2y(z − 1)ẏ = −x(z − 1)ż = −z 3On vérifie facilement en utilisant le principe de Lyapunov que (0,0,0) est ω-stable, mais en utilisant le principe de La Salle on remarque que (0 ;0 ;0) n’estpas asymptotiquement stable, et donc pas attractif(cf annexe 7).Fig. 11 – Représentation des solutions.Pour conclure observons que dans les systèmes chaotiques, les trajectoires tendent à s’enfermerdans un sous-espace de l’espace de phase, appellé attracteur.Il existe trois types d’attracteurs :– les points fixes, représentatifs d’un état stationnaire.– les cycles limites, représentatifs d’un état périodique.– les attracteurs étranges, représentatifs d’un état apériodique et donc de lacomplexité d’un système chaotique.Un attracteur A ⊆ Ω, doit satisfaire les propriétés suivantes :– toute trajectoire proche de cet attracteur doit être attirée asymptotiquementvers lui.– l’attracteur doit être invariant sous l’application f, ie : f(A) ⊆ A.– l’attracteur doit être indécomposable, ie : ∀x ∈ A, ∀y ∈ A, ∃λ ∈ N : f λ (x) =y.– la trajectoire doit visiter tout l’attracteur, ie : ∀U, V ouverts ⊆ A, ∃t : f t (U)∩V ≠ ∅En d’autres termes un attracteur est un ensemble compact de l’espace des phases, invariantpar le flot, vers lequel toutes les trajectoires convergent.On peut ainsi résumer ces propriétés par la défnition suivante :