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74 Geoffrey NichilFig. 10 – Orbite de longueur p.systèmes non linéaires, systèmes ne possédant pas à priori de solutions analytiques exploitables.On s’efforcera donc, de décrire les aspects qualititatifs des systèmes dynamiques.On énonce dans un troisième temps les différentes définitions concernant l’ω-stabilité etl’α-stabilité (au sens de Lyapunov) ainsi que les notions d’attractivité et de répulsivité d’unpoint fixe.Définition 3.Soit (Ω, {ϕ s ; s ∈ G}) un flot où G = R ou [0, +∞] ou Z ou N.On suppose que Ω est un ensemble topologique séparé.Soit a un point d’équilibre.1. On dit que le point a est ω-stable au sens de Lyapunov si pour tout voisinage V dea, il existe un autre voisinage W de a tel que :∀x ∈ W, ∀s ∈ G, s 0, ϕ s (x) est définie et appartient à V.2. On suppose que G = R ou Z.On dit que le point a est α-stable au sens de Lyapunov si pour tout voisinage V dea, il existe un autre voisinage W de a tel que :∀x ∈ w, ∀s ∈ G, s 0, ϕ s (x) est définie et appartient à V.Définition 4.Soit (Ω, {ϕ s ; s ∈ G}) un flot où G = R ou [0, +∞] ou Z ou N.On suppose que Ω est un ensemble topologique séparé.Soit a un point d’équilibre.1. On dit que le point a est attractif, ou asymptotiquement ω-stable, s’il existe un voisinageW de a tel que : ∀x ∈ W, ∀s ∈ G, s 0, ϕ s (x) est définie et lim s→+∞ ϕ s (x) = a.2. On suppose que G = R ou Z .On dit que le point a est répulsif, ou asymptotiquement α-stable, s’il existe un voisinageW de a tel que : ∀x ∈ W, ∀s ∈ G, s 0, ϕ s (x) est définie et lim s→−∞ ϕ s (x) = a.Ci-joint en annexe 7 le principe de Lyapunov quant à la stabilité d’un point d’équilibre.