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72 Geoffrey Nichil1 Quelques définitions.L’objectif de ce TIPE réside dans l’étude des systèmes dynamiques dont le comportements’avère chaotique.On définit, dans un premier temps, ce qu’est un système dynamique :Définition 1.On appelle système dynamique sur un ensemble Ω une famille d’applications {ϕ s ; s ∈ G}paramétrées par le groupe commutatif (G, +) et vérifiant les propriétés suivantes :1. Chaque application ϕ s est définie sur une partie U s de Ω, et à valeurs dans Ω.2. L’application ϕ 0 définie sur Ω est id Ω .3. Si 0 s 1 s 2 alors U S1 ⊆ U S24. La famille {ϕ s ; s ∈ G} est un groupe à un paramètre d’application de Ω (cf.remarque2).L’ensemble Ω est appelé espace des phases du système dynamique.Remarque.1. L’ensemble Ω est muni d’une certaine structure : topologie, espace mesuré, structurealgébrique...2. Soit G un groupe commutatif. Une famille {ϕ s ; s ∈ G} est appelée groupe à unparamètre d’application de Ω si∀s, t ∈ G, ∀x ∈ Ω : ϕ s (ϕ t (x)) = ϕ s+t (x)3. Un groupe à un paramètre d’application est un groupe commutatif.4. On appelle flot le couple (Ω, {ϕ s ; s ∈ G}).On peut considérer soit des systèmes dynamiques à temps discret, dans ce cas G = Z , soitdes systèmes dynamiques à temps continu, dans ce cas G = R.Exemples 1 : Systèmes dynamiques.1. Système à temps discret sur l’intervalle [0 ;1].Soit f : [0, 1] −→ [0, 1]. Soit {f n : n ∈ Z} le système dynamique à temps discretde générateur f.2. Système de FeigenbaumSoit g : [−1, 1] −→ [−1, 1] tel que : x ↦−→ 1 − µx 2