Untitled

La théorie du chaos 67Fig. 6 – Diagramme de bifurcation de la fonction logistique.Très vite le comportement de la population est de période inifinie( r = 4) : lecomportement est apériodique et on parle alors de situation chaotique.Ceci illustre le principe de transition vers le chaos : l’apparition d’un phénomènechaotique n’est pas immédiat, il passe par des bifurcations.HistoriqueLe précurseur de la théorie du chaos fut Henri Poincaré (1854-1912). Confronté à la difficultéde résoudre explicitement les équations gouvernant le système solaire, il décida dedécrire qualitativement le mouvement des différents corps du système solaire. C’est en1889, que Poincaré publia un mémoire pour l’obtention du prix Ocar 2 : « Sur le problèmeà 3 corps et les équations de la dynamique »(cf annexe 2 ); dans lequel il démontra unthéorème clé de la théorie du chaos : la stabilité à la Poisson.« Je n’ai pu résoudre rigoureusement et complètement le problème de la stabilité du systèmesolaire, en entendant ce mot dans un sens strictement mathématique. L’emploi des invariantsintégraux m’a cependant permis d’atteindre certains résultats partiels, s’appliquantsurtout au problème dit restreint où les deux corps principaux circulent dans des orbitessans excentricité, pendant que le corps troublé a une masse négligeable. Dans ce cas, si onlaisse de côté certaines trajectoires exceptionnelles, dont la réalisation est infiniment peuprobable, on peut démontrer que le système repassera une infinité de fois aussi près quel’on voudra de sa position initiale. C’est ce que j’ai appelé la stabilité à la Poisson. »Plus tard, en 1908, il remarqua que les mouvements de l’atmosphère étaient naturellementle siège de comportements compliqués et difficiles à prévoir. En effet Poincaré avaitécrit dans son introduction de « Calculs des probabilités » :« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous nepouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est d au hasard. Si nous connaissionsexactement les lois de la nature et la situation de l’univers à l’instant initial, nouspourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais,lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrionsconnatre la situation qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation