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La théorie du chaos 65La population converge (ie : se stabilise) donc vers ’c’ : population limite. Il n’ya pas sensibilité aux conditions initiales.Deux approches sont possibles pour caractériser les systèmes chaotiques :– la première est l’approche ergodique qui utilise des lois probabilistes pour élaborer descritères de description.La théorie ergodique prétend « que l’on peut remplacer la moyenne temporelle par lamoyenne spatiale ». Par exemple, cela revient au même d’assister à la naissance d’uneplante jusqu’à sa mort que d’admirer à un même instant un grand nombre de plantes chacunereprésentative d’une des différentes étapes de la vie d’un spécimen. Cette premièreapproche nous amenera à une définition du chaos ergodique.– la seconde approche est l’approche topologique qui décrit les comportements élémentairesdu système.Cette approche nous conduira à une définition du chaos topologique.Ces deux approches constitueront les troisième et quatrième parties de ce TIPE. Enfin,la dernière partie s’attachera à décrire les aspects géométriques des systèmes chaotiques,notamment les attracteurs étranges et les différentes ’routes’ vers le chaos .Exemple 3 : « Route »vers le chaos : la fonction logistique.U n+1 = rU n − rU 2 noù :– rU n : taux de reproduction d’une population.– −rUn 2 : facteur limitant (mortalité, guerre....).1. si r < 1 : la population disparait :Fig. 2 – Exemple pour r = 0, 82. si r ∈ [1, 3] : la population se stabilise à : x c = (r−1)r: