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La théorie du chaos 63Exemples 1 :1. L’effet papillon, maxime de Benjamin Franklin.« Faute de clou, on perdit le fer,Faute de fer, on perdit le cheval,Faute de cheval, on perdit le cavalier,Faute de cavalier, on perdit la bataille,Faute de bataille, on perdit le royaume! »2. Evolution d’une population d’individus au cours du temps, Modèle de Verhulst:On modélise l’évolution d’une population par :U n+1 = r × U n (1 − U n )avec– U n : population ancienne,– U n+1 : population nouvelle,– 1 − U n : facteur limitant et r : facteur de croissancePrenons comme premier exemple : U 0 = 0, 3.10 6 et r = 3, 64.On veut estimer la population au bout de 400 ans : U 400 = 31759Prenons comme deuxième exemple, une population initiale légèrement différente :U 0 = 0, 300001.10 6 , on obtient U 400 = 65949 !Donc pour deux conditions initiales très proches on trouve des résultats complètementdifférents.3. Illustration du principe de récurrence de Poincaré :Soit une application linéaire f de R 2 dans R 2 définie par :f(x, y) = ((y)mod 1; (x + y − 1/2)mod 1)( )0 1dont la matrice est et soit un carré U = [O, 1] × [0, 1] à l’intérieur1 1duquel on a représenté le visage de Poincaré.L’application f correspond en quelque sorte à un étirement-recollement. Onapplique ensuite l’application f sur l’ensemble U.Après 241 itérations on observe à nouveau le visage de Poincaré (Principe dela transformation du boulanger).