Untitled

62 Geoffrey NichilPrésentationIntroduction« La théorie du chaos est pour les mathématiciens une théorie comme une autre, néeau XXe siècle. Cependant, il est à craindre que l’intérêt suscité par la théorie du chaosne soit en partie d à son nom, et que d’aucuns ne viennent y chercher une théorie dubordel ambiant, ce qui évidemment les exposera à de graves déconvenues, et n’aidera pasau progrès de la science. » (Ivar Ekeland)La théorie du chaos s’attache à modéliser des phénomènes physiques ’instables’ par le biaisdes mathématiques. Cette théorie traite de l’étude des systèmes dynamiques déterministesdont on ne peut prédire le comportement. On verra plus tard que cette imprédictibilitédépend en partie d’une forte sensibilité aux conditions initiales, modulant une propriétésupplémentaire de récurrence (théorème de récurrence de Poincaré). La théorie du chaoss’attache essentiellement à la description de systèmes à très faibles degrés de liberté maisdont la dynamique apparat comme très désordonnée. De tels systèmes sont appelés systèmesdynamiques chaotiques.Le fait que le système soit non linéaire est une condition nécessaire mais pas suffisante àl’apparition du chaos.Un système dynamique est un ensemble Ω muni d’une certaine structure (espace mesurable,topologie, structure algébrique...) et d’une dynamique d’évolution, c’est à dire : unefamille d’applications (ϕ s ) s∈Ωde Ω dans Ω (où (G, +) est un groupe abélien) préservantcette structure et telle que ϕ s+t = ϕ s ◦ ϕ t .Un système dynamique est déterministe s’il ne fait pas appel aux probabilités, ou si sadynamique d’évolution associe à chaque condition initiale ϕ 0 un et un seul état final ϕ(t).On peut maintenant émettre une définition ’heuristique’ des systèmes chaotiques :Un système dynamique déterministe est chaotique si une partie significative de l’ensembleΩ présente les deux propriétés suivantes :1. forte sensibilité aux conditions initiales :∃ε ≥ 0, ∀x ∈ Ω, ∀δ ≥ 0 : ∃y ∈ Ω, ∃p ∈ G tel que : ‖x −y‖ < δ ⇒ ‖ϕ p (x) −ϕ p (y)‖ > ε2. « récurrence de Poincaré » : pour presque toutes les conditions initiales, la trajectoireva repasser au cours du temps aussi près que l’on veut de sa position initiale (stabilité« à la Poisson »). Dans un système chaotique la fréquence de ce phénomène est trèsrare.