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LA THÉORIE DU CHAOSGeoffrey NichilL3 MathématiquesTravail d’Initiative Personnelle - T.I.P.E.Année 2007 - 2008Table des matièresPrésentation 62Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 Quelques définitions. 712 Approche ergodique. 782.1 Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.2 Théorème de récurrence de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3 Théorème ergodique et transformation mélangeante . . . . . . . . . . . . . 832.4 Définition du chaos ergodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 Approche topologique. 993.1 Transformation topologiquement transitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2 Sensibilité aux conditions initiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.3 Définition topologique du chaos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.4 Equivalence entre chaos topologique et ergodique? . . . . . . . . . . . . . . 1014 Aspects géométriques. 1034.1 Attracteur de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2 Transition vers le chaos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 Exemple : l’application logistique. 10661