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56 Paul Monnot(a) Cas où le nombre de sommets de degré impair est 0.Soit m le nombre d’arêtes de G.Initialisation :Pour m = 1, la propriété est vraie, du fait de l’hypothèse sur les degrés, le graphe seréduit à un sommet avec une boucle, laquelle définit un cycle eulérien.Donc le graphe G est pair. Soit a le point de départ du cycle C définit aléatoirement.Hérédité :Supposons que la propriété est vrai pour tout graphe ayant un nombre inférieur à m.Le degré minimum de G est supérieur ou égale à deux car le graphe est connexe et dedegré pair.On part du sommet a et on va chaque fois à un voisin du dernier sommet considéré,voisin qui n’est pas le sommet considéré précédent. Et ainsi de suite, jusqu’à retrouverun sommet déjà rencontré auparavant ce qui referme un cycle C de G.Si C n’est pas un cycle eulérien, on considère les composantes connexes H 1 , ...,H knon réduite à un sommet isolé du graphe G − E(C) où E(C) désigne l’ensemble desarêtes de C.Par l’hypothèse de récurrence, chaque H i , i = 1, ...,k est un graphe eulérien. On peutalors définir C i un cycle eulérien de H i pour i = 1, ...,k.Comme G est connexe, le cycle C rencontre chaque C i au sommet x i pour chaquei = 1, ...,k. C’est à dire, qu’en parcourant C, à chaque rencontre d’un sommet x i , onquitte C pour parcourir C i puis au retour en x i , on poursuit C.On peut définir alors un cycle eulérien : C[a, x 1 ] + C 1 + C[x 1 , x 2 ] + C 2 + ... + C[x k , a](b) Cas où le nombre de sommets de degré impair est 2.Considérons le graphe G ′ obtenu en ajoutant une arête reliant les deux sommets dedegré impair a et b. Alors le graphe G ′ est pair. Donc on retrouve le cas précédent eton en déduit que le graphe G ′ admet un cycle eulérien (une chaîne eulérienne fermée).Ce cycle est donc valable en commenant par n’importe quel sommet, notamment para ou b. Le cycle partant du sommet a finissant par ce même sommet par l’arête reliantle sommet b en a. Ceci est aussi possible avec le sommet b. On déduit que le grapheG ′ moins l’arête reliant a et b admet une chaîne eulérienne, c’est à dire, que G admetune chaîne eulérienne.Conclusion : Si le graphe G est connexe et que son nombre des sommets de degré impairest 0 ou 2 alors G admet une chaîne eulérienne.[UnivCan, Alavi, parpro, Stew, berge, Fourapli]Du point de vue algorithmique Soit un graphe G connexe de degré pair pourqu’il existe une chaîne eulérienne fermé. Le graphe ne peut pas avoir deux sommet dedegré impair car la chaîne eulérienne sera nécessairement ouverte.