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Préfacepar Nicolas Prudhon, enseignant-chercheurLe Travail d’Initiative Personnelle Encadré (TIPE) de mathématiques a été mis enplace à l’université Paul Verlaine de Metz dès l’année universitaire 2005–2006. Proposéaux étudiants de troisième année, ceux-ci sont invités à choisir un sujet de TIPE qu’ilstraiteront tout au long l’année en l’approfondissant progressivement. A l’issue de l’année,ils ont composé un texte mathématique complet, et présentent alors leur travail lors d’unexposé oral.L’objectif de ce travail est de permettre aux étudiants de se confronter à la réalitémathématique du chercheur : composer d’abord une bibliographie cernant le sujet, repérerles théorèmes fondamentaux, leurs liens aux applications annoncées, puis comprendre lesdémonstrations et les rédiger en détail, ce qui est rarement le cas dans les ouvrages disponibles; enfin écrire une introduction, invitant le lecteur à entrer dans le texte, en situantles aspects historiques, les applications avérées ou potentielles, et au besoin en détaillantun exemple simple, le fameux ”toy model”. Au cours d’un travail progressif, les étudiantsapprennent ainsi à composer un texte mathématique structuré : chaque section regroupeles définitions, les théorèmes et biensûr les démonstrations se rapportant à une notionbien déterminée. Depuis sa phase de conception (recherche d’ouvrages à la bibliothèques,d’articles de vulgarisation trouvés sur internet notamment) jusqu’à la mise en page tipographiquedes articulations du corpus mathématique (les citations et renvois), tous lesaspects de l’écriture des mathématiques sont abordés et doivent permettre de mener cetravail à sa finalité : la mise en lumière des démonstrations.Les textes présentés dans ce livret sont le fruit du travail des étudiants tels que ceux-ciont été écrits. Seule une uniformisation de la typographie a été réalisée, après transcriptiondes textes au format L A TEX. Cette tâche fastidieuse n’a pu être réalisée que grâce à laparticipation essentielle de Cédric Moll, sans qui la présentation du présent livret auraitété impossible. Qu’il en soit remercié. Ne pas modifier les écrits des étudiants, en respectantleurs éventuelles erreurs ou imperfections, est aussi une façon de rendre compte des efforts etde l’énergie qu’ils ont mis dans leurs réalisations en montrant le cheminement du véritabletravail mathématique. Cela m’évoque une question qu’un jour un examinateur me posa :qu’est-ce que ”faire des mathématiques” ? La colle ! Question si hardue que, pétrifié pourle reste de l’examen, je fus recallé. Et c’est seulement aujourd’hui, à la lumière du travaildes étudiants que j’ai aidés, que je commence à entrevoir une réponse : et si au fond, onne faisait pas de mathématiques, mais plutôt que ce sont les mathématiques qui font lesmathématiciens. Car pendant que les intemporelles mathématiques ne bougeaient pas d’uniota, les étudiants – par leur travail, leurs questions, leurs hésitations, puis leur réussite– se laissaient toucher par les mathématiques, consentaient à ce qu’elles fassent d’eux desmathématiciens accomplis. Les enseignants que nous sommes témoignent de leur cheminparcouru, sur lequel nous les avons invités puis guidés.Enfin, un grand merci aux étudiants qui ont contribué à l’édition de cet ouvrage, enacceptant que soient publiés leurs écrits : voici donc le meilleur du TIPE de l’université deMetz !3