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Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 433.3 Etudes locale et globale de l’équation normale variationnelleDans cette partie nous n’allons pas détailler les calculs qui permettent de résoudre ou àdéfaut de simplifier l’équation normale variationnelle scalaire, nous allons nous contenterde donner les résultats généraux que l’on obtient selon les valeurs prises par m 1 et c.– 1 er cas : m 1 = 1.Le groupe de Gallois différentiel associé à l’équation normale variationnelle n’est engénéral pas abélien, et donc le système n’est pas complètement intégrable.Il y a cependant deux valeurs particulières de m 2 pour lesquelles on ne peut pas conclure :m 2 = m 1 = 1 ou m 2 = 5 2 .– 2 e cas : m 1 ≠ 1.Dans ce cas le système n’est jamais complètement intégrable.Remarque.1. L’équation normale variationnelle calculée précédemment n’est valable que si c estnon nul; dans le cas contraire, l’équation normale variationnelle scalaire s’écrit :– Si m 1 = 1– Si m 1 ≠ 1L m1 ,m 2(y (x)) = y (4) (x) + 6 x y(3) (x) + 4 x 2y(2) (x) + 2(4m 2 − 19m 2 + 2− (4m 2 − 1)(2m 2 − 5)(m 2 + 2) 2 1x 4y(x)L m1 ,m 2(y (x)) = y (4) (x) − 4 x 2y(2) (x) + 8 x 3y′ (x)1(x)x 3y′− 8(m2 1 + m 2 2 + 1) − 11(m 1 m 2 + m 1 + m 2 )(m 2 + m 1 + 1) 2 1x 4y(x)Dans ce cas le groupe de gallois différentiel associé est toujours abélien, et donc lesystème sera complètement intégrable2. Le cas c = 0 s’interprète physiquement : c’est le cas dans lequel les trajectoires desdeux corps sont parfaitement circulaires. Cela n’est pas le cas dans le système Terre- Lune - Soleil, ni pour un système faisant intervenir un satellite artificiel.3. Certaines équations peuvent a priori présenter des problèmes d’homogénéité, maiscela vient de l’hypothèse formulée au début à savoir m 3 = 1.3.4 ConclusionLorsqu’un satellite artificiel parcourt son orbite, on imagine une trajectoire circulairerégulière et sans histoire. Pourtant, en raison de l’influences de la pesanteur terrestre sur lesdifférentes parties du satellite, cette révolution s’accompagne de mouvements de rotation et