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42 Cédric Molld’où finalement :Z ′ (x) = P −1 (x) [M(x)P(x) − P ′ (x)]Z(x) = ˜M(x)Z(x)avec ˜M(x) = P −1 (x) [M(x)P(x) − P ′ (x)]. Et vu que W 0 est solution de l’équation variationnelle,la première colonne de la matrice ˜M est nulle ; de plus cette matrice s’écrit parblocs :( ) ˜M1 ˜M2˜M =˜M 3 − ˜M 1Tavec ˜M 2 et ˜M 3 symétriques.Quitte à effectuer un dernier changement de variable pour arranger la forme du systèmeon peut écrire alors :⎛⎞p A 1 (x) A 2 (x) 1 0p 2 0˜Z ′ (x) =A 3 (x) −A T p1 (x) 3 0⎜p 4 0· ˜Z(x)⎟⎝ 0 0 0 0 0 0 ⎠p 5 p 6 p 7 p 8 p 9 p 10ou encore sous la forme d’un système :⎧ ⎛A 1 (x) A 2 (x)ν ′ (x) = ⎜⎝⎪⎨ A 3 (x) −A T 1 (x)z ′ 5(x) = 0p 1p 2p 3p 4⎞( )⎟ ν(x)⎠ z 5⎪⎩z ′ 6(x) = f(z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 )L’équation normale variationnelle est alors obtenue en posant z 5 = 0, soit :( )ν ′ A1 (x) A(x) =2 (x)A 3 (x) −A T ν(x)1 (x)Equation normale variationnelle scalaire Nous admettrons qu’en utilisant un changementde variable, nous pouvons réécrire ce système en utilisant une matrice compagnon ;les coefficients de la matrice compagnon sont les coefficients de l’équation normale variationnellescalaire. Celle-ci s’écrit :L m1 ,m 2(y (x)) = y (4) (x) + a 3a 4y (3) (x) + a 2a 4y (2) (x) + a 1a 4y ′ (x) + a 0a 4y(x)Remarque. Il faut normalement distinguer deux cas selon que m 1 est égal ou non à un carles coefficients ne sont pas les mêmes dans ces deux cas, mais nous n’allons pas expliciterles coefficients ici.