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Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 413.2 Les équations normales variationnellesDéfinition 15 (les points de Lagrange).À partir des équations du mouvement déduites du Hamiltonien, nous pouvons rechercherles points fixes de ce système, c’est à dire les points où les forces engendrées par les deuxastres principaux s’équilibrent. Il en existe cinq, baptisés points de Lagrange, en l’honneurdu mathématicien français Louis Lagrange.On peut noter que parmi ces cinq solutions, deux seulement sont stables.Equation variationnelleNous allons nous placer le long d’une des solutions de Lagrange. (une solution stable)L’équation variationnelle le long de cette solution de Lagrange est un système différentiellelinéaire d’ordre six :Y ′ (t) = V E(t)Y (t)Réduction de l’équationLa matrice V E(t) possède deux pôles r 1 et r 2 qui sont les racines du polynôme :Posonsα = −i(r 1 − r 2 )etβ = r 1 + r 2 )2 2et effectuons le changement de variable affine t = αx + β ; notons M(x) = αV E(αx + β).Le système peut alors s’écrire :Y ′ (x) = M(x) · Y (x)avec M(x) qui s’écrit par blocs(M1 MM =2M 3 −M1T)avec M 2 et M 3 symétriques et M T 1 désigne la matrice transposée de M 1 .On peut donc écrire aussi M = J ·S avec S une matrice symétrique et J la matrice définiedans la première partie.Pour calculer l’équation normale variationnelle associée à ce système nous allons effectuerle changement de variable :Y (x) = P(x) · Z(x)avec P une matrice symplectique, c’est-à-dire vérifiant :P T J P = JSi W 0 est une solution particulière de l’équation variationnelle précédente, on prend −W 0comme première colonne de la matrice P. On a alors :Y ′ (x) = P(x)Z ′ (x) + P ′ (x)Z(x) ⇔ Z ′ (x) = P −1 (x) [Y ′ (x) − P ′ (x)Z(x)]= P −1 (x) [M(x)Y (x) − P ′ (x)Z(x)]