Untitled

40 Cédric Moll2. On calcule l’équation variationnelle et on en déduit l’équation normale variationnellele long de cette solution.3. On détermine les conditions sur les paramètres qui font que G 0 n’est pas abélien.En général, c’est ce dernier point qui est le plus difficile à traiter; nous verrons celà dansl’exemple qui suit.3 Le problème plan de trois corps3.1 DescriptionOn considère trois corps en mouvement dans un référentiel newtonien avec comme seulesforces agissant sur eux, leur attraction gravitationnelle mutuelle.On considère le problème plan; on peut de plus supposer que l’une des masses est égale àun (par exemple m 3 = 1). Le système hamiltonien peut alors s’écrire :⎧q j ⎪⎨′ = ∂H∂p j⎪⎩p ′ j= − ∂H∂q ′ javec la fonction H définie par :H = 1 ( ) 1+ 1(p 2 1 + (p )3q 2 − p 2 q 3 ) 22 m 1q 2 1+p 1 p 2 − p 3(p 3 q 2 − p 2 q 3 − c)q 1−m 2√q22 + q 2 3+ 1 ( ) 1+ 1 (p 2 2 + p 22 m3)2− m 1q 1−m 1 m√ 2(q1 2 − q2) 2 2 + q32Ce système a un degré de liberté égal à 3 et dépend de 4 paramètres (les trois masses etun paramètre supplémentaires, c, qui représente l’intégrale du moment angulaire pour lesystème).Remarque.On obtient ce système par réduction du hamiltonien :H 1 =3∑j=1‖p j ‖ 22m j− ∑1j