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Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 39Ces deux parties ne sont donc pas disjointes car elles contiennent au moins g 1 . Leurréunion est donc une partie connexe d’après le lemme précédent.De plus la réunion contient e G ; donc A 1 ∪ A 2 ⊂ G 0 , car G 0 est la plus grande partieconnexe contenant e G . Donc g 1 g 2 ∈ G 0 .3. Montrons que g −11 ∈ G 0 . Pour celà posons :h :[0; 1] → Gx ↦→ (f 1 (x)) −1h est bien définie car ∀x ∈ [0; 1], f 1 (x) ∈ G et que G est un groupe donc l’inversede chaque élément existe et est unique : donc h est continue, comme composée d’unefonction continue, f 1 , et de l’isomorphisme de groupe qui à un élément associe soninverse.Donc g1 −1 ∈ G 0Donc G 0 est bien un sous groupe de G.□2.2 Le théorème de Morales et RamisDéfinition 13 (groupe de Galois).Soit E une extension normale finie d’un corps K. On appelle groupe de galois de l’extensionE de K, et on notera G, le groupe composé de tous les K-automorphismes de E, i.e. destransformations qui permutent les éléments de K en laissant ceux de E invariants.Définition 14 (groupe de Galois différentiel). Soit L(y) = 0 une équation différentiellelinéaire sur le corps K. On note E l’extension de K engendrée par une base de solutions(y 1 , ...,y n ) de L(y) = 0 6 .Le groupe de Galois différentiel de cette équation est le groupe des K-automorphismes quicommutent avec la dérivation de E.Théorème 2.4 (Théorème de Morales et Ramis). Soient (S) un système hamiltonienet V 0 une solution particulière de (S). On note L (y(x)) = 0 l’équation normale variationnellede (S) le long de la solution V 0 et G le groupe de Galois différentiel de L (y(x)) = 0.Si le système (S) est complètement intégrable, alors la composante connexede l’identité de G est un groupe abélien.On peut aussi résumer celà par l’implication contraposée 7 :Utilisation pratiqueG 0 non abélien ⇒ (S) non complètement intégrable1. On considère une solution particulière du système hamiltonien.6 E est donc le plus petit coprs contenant K et les soluions (y 1 , ...,y n )7 c’est cette implication qui sert en pratique