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38 Cédric MollDémonstration. Comme X est connexe, il est non vide (par convention) et contiendraun élément x et donc Y sera non vide puisqu’il contiendra f(x). Par l’absurde, supposonsY non connexe. Alors on peut choisir dans Y deux ouverts non vides A et B d’intersectionvide et de réunion Y .Leurs images réciproques f −1 (A) et f −1 (B) seront ouvertes par continuité de f.Leur intersection sera vide et leur réunion pleine, en effet l’image réciproque se comportebien pour les opérations ensemblistes.Enfin comme A et B sont non vides et f : X → I f surjective, les images réciproquesf −1 (A) et f −1 (B) seront non vides. On a donc trouvé une partition de X en deux ouverts(non vides), ce qui contredit la connexité de X.□Lemme 2.2. La réunion d’une famille de parties connexes d’intersection non vide estconnexe.Démonstration. Soit (A i ) i∈I une famille d’ensembles connexes d’intersection B non videet f une application continue de ∪ i∈I A i dans {0; 1}. Par connexité de A i , f est constantesur chaque A i .Si l’on note a i la valeur de cette constante, on en déduit que f restreinte à B (qui n’est pasvide) doit être constante et égale à a i pour tout i. En conséquence, tous les a i sont égauxentre eux, et f est donc constante sur ∪ i∈I A i .On conclut grâce à la proposition précédente.□Théorème 2.3. G 0 est un sous-groupe de G.Démonstration.1. Par définition, on sait déjà que G 0 ⊂ G et e G ∈ G 0 .2. Soient (g 1 , g 2 ) ∈ (G 0 ) 2 , alors :Posons∃f 1 , f 2 ∈ C ([0; 1], G),f :⎧⎨⎩[0; 1] → Gx ↦→ g 1 · f 2 (x)f 1 (0) = f 2 (0) = e Gf 1 (1) = g 1f 2 (1) = g 2Alors f est une fonction continue car f 2 est continue, et on a :{ f(0) = g1f(1) = g 1 g 2Nous avons donc mis en évidence deux parties connexes :– une partie connexe A 1 contenant e G et g 1– une partie connexe A 2 contenant g 1 et g 1 g 2