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Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 37Définition 8 (Degré d’une extension).On appelle degré de l’extension E de K, la dimension de E en tant que K-espace vectoriel.On le note :[E : K] = dim K EUne extension E de K sera dite finie si [E : K] est fini.Définition 9 (Extension normale).Une extension algébrique E de K sera dite normale si, et seulement si, ∀P ∈ K[X],irréductible, on a l’implication :(∃x ∈ E,P(x) = 0) ⇒ (P scindé dans E[X])Définition 10 (Topologie de Zariski).Soit K un corps et m un entier.Une partie F de K m est dite Zariski-fermée s’il existe un sous-ensemble S de K[x 1 , ...,x m ]tel queF = {c ∈ K m , ∀f ∈ S, f(c) = 0}Notons F l’ensemble des parties F ainsi définies.Alors l’ensemble F définit une topologie par ses fermés, appelée topologie de Zariski. Lecomplémentaire d’un ensemble Zariski-fermé est dit Zariski-fermé.Remarque.– On peut assimiler M n (K) à K m , avec m = n 2 , car ces deux ensembles sont isomorphes.– On a ainsi définit une topologie sur l’esemble des matrices de taille n × n, et plusgénéralement sur les matrices de taille n × m, (n, m) ∈ (N) 2 .Définition 11 (Partie connexe).Une partie P d’un sous-groupe de M n (K) est dite connexe si :∀x ∈ P, ∃f ∈ C ([0; 1], P),{ f(0) = ePf(1) = xoù e P désigne l’élément unité de P. La fonction f est appelée un chemin.On peut définir de manière équivalente la connexité pour les espaces topologiques : Uneespace topologique non vide X sera dit connexe s’il n’admet pas de partition en deux ouverts(respectivement deux fermés).Définition 12 (Composante connexe de l’identité).On appelle composante connexe de l’identité d’un groupe G, et on note G 0 , la plus grandepartie connexe de G, contenant l’identité.Proposition 2.1. L’image d’une partie connexe X par une application continue f est unepartie connexe Y de Im f.Ainsi si f est une application de P, connexe, dans {0; 1}, f est constante; en effet f(P) estune partie connexe de {0; 1} qui n’est pas connexe : donc f(P) ne comporte qu’un élément.