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36 Cédric Mollou est-ce qu’elles n’existent pas?On voit donc que la méthode de calcul directe n’est pas la meilleure, d’où l’intérêt dechercher une méthode qui permettrait de prédire si un système est intégrable sans avoir àcalculer les intégrales premières.Ce sera notre objectif dans les paragraphes qui vont suivre. En fait nous allons expliciterune méthode qui permet de montrer qu’un système n’est pas intégrable.2 Critères de non-intégrabilité2.1 Définitions et remarquesDéfinition 5 (Hessien).Soient p ∈ N ∗ , U un ouvert de R p , f : U → R et x 0 ∈ R p .Le développement de Taylor de f au voisinage de x 0 est donné par :f(x) = f(x 0 ) +p∑i=1= c − bx + 1 2 x · H · x( ∂f∂x i(x 0 ) · x i)+ 1 2Avec c = f(x 0 ), b = − −−→ grad f(x 0 ) et H(f, x 0 ) = (h i,j ) (i,j)∈[|1;p|] 2où ∀(i, j) ∈ [|1;p|] 2 , h i,j = ∂2 f∂x i ∂x j(x 0 ).La matrice H(f, x 0 ) est appelée hessien de f en x 0 .p∑i=1p∑j=1( ∂ 2 f∂x i ∂x j(x 0 ) · x i x j)+ . ..Définition 6 (Équation variationnelle). On appelle équation variationnelle le longd’une solution V 0 du système hamiltonien, l’équation différentielle définie par :avec H(H, V 0 ) le hessien de H en V 0 .Remarque.h ′ = J · H(H,V 0 ) · h1. La définition de l’équation est bien cohérente : H est une fonction de R 2n dans R,donc H ∈ M 2n (R) et J ∈ M 2n (R).2. En pratique on ne travaille pas à partir de l’équation variationnelle, mais de l’équationnormale variationnelle, qui est obtenue à partir de la première mais présente l’avantagede n’avoir que 2n − 2 variables; nous verrons celà en troisième partie dansl’exemple du problème plan des trois corps.Définition 7 (Extension).Soit E un ensemble :(E est une extension du corps K) ⇔ (K est un sous-corps de E)