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Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 35Alors on peut vérifier que G est une intégrale première du système, en effet :{G(X), H(X)} = 〈 −−→ grad G(X), J · −−→ grad H(X)〉==〈 ⎛ ⎜ ⎜⎝2Ax 1 − 4x 2 10y 10〈 ⎛ ⎜ ⎜⎝2Ax 1 − 4x 2 10y 10⎞ ⎛⎟⎠ , ⎜⎝⎞ ⎛⎟⎠ , ⎜⎝0 0 1 00 0 0 1−1 0 0 00 −1 0 0y 1y 2−(2Ax 1 − 4x 2 1)−(2Ax 2 + 4x 2 2)⎞⎟⎠ ·⎛⎜⎝⎞〉⎟⎠2Ax 1 − 4x 2 12Ax 2 + 4x 2 2y 1y 2= 0⎞〉⎟⎠De plus G et H sont en involution 5 ; on a donc n = 2 intégrales premières en involution :le système est donc complètement intégrable dans ce cas.Remarque (interprétation géométrique). On sait que G et H sont constantes surl’ensemble des solutions. G et H étant indépendantes, on a donc 2 séries d’hyperplansaffines de R 4 dont l’intersection donne l’ensemble des solutions du systéme; l’ensembledes solutions n’est pas facile à exhiber et demande énormément de calculs et l’utilisationde notions que nous verrons par la suite. Pour ce cas très particulier, on peut cependantremarquer que les droites paramétrées :⎧⎪⎨⎪⎩q 1 (t) = 0p 1 (t) = 0q 2 (t) = at − bp 2 (t) = aAvec a et b des constantes, forment une famille de solutions du système hamiltonien.Autres cas intéressantsSelon les valeurs de λ on peut obtenir des résultats très différents, on peut citer deuxexemples øgclassiques » :1. Pour λ = 3 , le système n’est pas intégrable.22. Pour λ = 6 on a à faire à un système intégrable également, on a la seconde intégralepremière qui est définie par :G = q 4 1 + 4q 2 1q 2 2 + 4p 1 (p 1 q 2 − p 2 q 1 ) − 4Aq 2 1q 2 + (4A − B)(p 2 1 + Aq 2 1)Ce dernier exemple montre bien qu’en général il n’est pas aisé de trouver une intégralepremière d’un système hamiltonien - et encore ici on n’a « que »n = 2.Et si on ne trouve pas (assez) d’intǵrale première, est-ce parce qu’on n’a pas (assez) cherché5 les gradients sont explicités et on voit qu’ils sont indépendant (trivial)