Untitled

34 Cédric MollConclusionLe système de Kepler possède deux intégrales premières indépendantes 3 ; d’après la définition,le système est donc complètement intégrable.1.3 Exemple 2 : le système de Hénon-HeilesDescriptionEn règle général il n’est pas facile de déterminer si un système est intégrable, les cas aussifavorables que celui de l’exemple précédent sont rares... Nous allons voir ici un exempleplus complet : il s’agit du système de Heinon Heiles, dont le hamiltonien s’écrit 4 :H = 1 2 (p2 1 + p 2 2) + 1 2 (Aq2 1 + Bq 2 2) − q 2 1q 2 − λ 3 q3 2Avec A, B, λ des paramètres à préciser.Écriture matricielle :Sous forme matricielle, le système peut s’écrire :⎛⎜⎝q ′ 1q ′ 2p ′ 1p ′ 2⎞⎛⎟⎠ = ⎜⎝p 1p 2−Aq 1 + 2q 1 q 2−Bq 2 + q 2 1 + λq 2 2Nous n’allons pas ici étudier l’intégrabilité du système complet pour toutes les valeurspossibles, ce serait très long (et compliqué!). Nous allons nous contenter d’observer lecomportement du système pour quelques valeurs particulières.Étude du cas A = B et λ = 1On commence par effectuer un changement de variables en posant :⎧⎪⎨⎪⎩q 1 = x 1 + x 2q 2 = x 1 − x 2p 1 = y 1 + y 2p 2 = y 1 − y 2On obtient alors une nouvelle expression de H :⎞⎟⎠On note G la fonction définie par :H = 1 2 (y2 1 + y 2 2) + Ax 2 1 − 4 3 x3 1 + Ax 2 2 + 4 3 x3 2G = 1 2 y2 1 + Ax 2 1 − 4 3 x3 13 l’indépendance est triviale à vérifier, il suffit de comparer les gradients des fonctions qui sont explicitésci-dessus pour constater qu’ils forment un système libre.4 c’est un cas d’école, concrètement il n’y a que très peu d’applications physiques ; en astrophysiquece genre de système sert par exemple à la modélisation de la trajectoire d’une étoile dans une dimensioncylindrique... Bref : des cas très particuliers !