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Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 33Définition 4 (Système complètement intégrable).Un système hamiltonien de degré de liberté n est dit complètement intégrable s’il possèden intégrales premières G i , 1 i n en involution, i.e. qui vérifient :1. G 1 , ...,G n sont fonctionnellement { indépendantes, ce qui équivaut à l’indépendance−−→de la famille de vecteurs grad G1 , ..., −−→ grad G n}.2. Pour toute solution X, on a :∀(i, j) ∈ [1; n] 2 , {G i (X), G j (X)} = 01.2 Exemple 1 : le système de KeplerDescriptionLe problème de Kepler dans le plan décrit deux corps en interaction gravitationnelle mutuelle; l’un des deux corps est fixe à l’origine. On peut condidérer par exemple le Soleilsupposé fixe, autour duquel gravite la Terre.Résolution du systèmeLa fonction hamiltonien de ce système s’écrit 2 :H = 1 (p22 1 + p2)2 −} {{ }Énergie cinétiqueµ√q21 + q 2 2} {{ }Énergie potentielleLe système s’écrit alors sous forme matricielle :⎛ ⎞ ⎛⎞q 1′ p 1⎜ q 2′ ⎟⎝ p ′ ⎠ = ⎜ p 2⎟⎝1 −µq 1 (q 2p ′ 1 + q2) 2 −3/2 ⎠2 −µq 2 (q1 2 + q2) 2 −3/2Notons G = p 1 q 1 − p 2 q 2 ; il est alors aisé de vérifier que G ainsi définie est une intégralepremière du système, en effet :{G(X), H(X)} = 〈 −−→ grad G(X), J · −−→ grad H(X)〉=〈 ⎛ ⎜ ⎜⎝−p 2p 1q 2⎞ ⎛⎟⎠ , ⎜⎝−q 1⎞p 1p 2−µq 1 (q1 2 + q2) 2 −3/2−µq 2 (q1 2 + q2) 2 −3/2Donc G est bien une intégrale première du système de Kepler.〉⎟⎠ = 0Remarque. Cette intégrale première représente l’intǵrale du moment angulaire du système;physiquement, il s’agit d’une conséquence de la loi des aires : « le segment joignantles deux corps décrit des surfaces égales sur des intervalles de temps égaux ».2 nous avions vu plus haut que le hamiltonien était assimilable à l’énergie du système