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32 Cédric MollRevenons alors à la définition première d’un système hamiltonien :⎧dq j⎪⎨dt = ∂H (q, p)∂p∀j ∈ [1; n],jdp j⎪⎩dt = −∂H (q, p)∂q jOn en déduit alors l’expression de dGdt:dGdt = n∑i=1[( ∂G∂q i)·( ) ( ) ( )]∂H ∂G ∂H− ·∂p i ∂p i ∂q iCe qui correspond, au signe près, au crochet de Poissons des fonctions G et H.Remarque. On a en particulier {H(X), H(X)} = 0, ce qui prouve que le hamiltonien estbien une intégrale première du système.Proposition 1.3. Si G est une intégrale première du système, alors l’ensemble des solutionsse trouve sur les hypersurfaces affines d’équation G = c avec c une constante.Ainsi les intégrales premières donnent la géométrie de la courbe solution.Démonstration. On doit montrer deux choses :1. les solutions se trouvent sur les surfaces d’équation G = c, c ∈ R2. les surfaces en question sont bien des hypersurfaces.Soit G une intégrale première du système hamiltonien.1. D’après la définition des intégrales premières, G satisfait la propriété :∀X, solution du système , on a : dG ( )X (t) = 0dtSi on note S X l’ensemble des solutions du système hamiltonien, l’équation différentielledG ( )X (t) = 0 admet pour solutions sur SX toutes les fonctions qui y sontdtconstantes. Donc G est bien constante sur l’ensemble des solutions; reste à prouverque cet ensemble est une hypersurface.2. Si G n’est pas la fonction nulle 1 , l’équation dG (X (t0 ) ) = 0 est un système vectorieldtdont chacune des composantes donne l’équation d’une tangente à la courbe solutionau point t 0 , par rapport à une des directions du vecteur X, à savoir les directions p iet q i . Localement, au voisinage de t 0 , ces courbes forment un hyperplan, et donc lacourbe globale obtenue est bien une hypersurface de R 2n .1 on peut exclure la fonction nulle car elle est toujours solution triviale de l’équation, mais elle n’apporteaucune information sur les solutions ou sur l’intégrabilité du système, conformément à la définition 4.□