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Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 31Remarque. Cette caractérisation nous sera très utile pour les démonstrations ulltérieures.Définition 2.Une fonction G : U → R est une intégrale première du système hamiltonien si pour toutesolution X(t) du système on a :dG( )X (t) = 0dtDéfinition 3 (Crochet de Poisson).SoientRf :n × R n → RX = (q 1 , ...,q n , p 1 , ...,p n ) ↦→ f(X)et g :R n × R n → RX = (q 1 , ...,q n , p 1 , ...,p n ) ↦→ g(X)On appelle crochet de Poisson de f(X) et g(X) et on note {f(X), g(X)} la quantité :{f(X), g(X)} =Ou de manière équivalente :n∑i=1J étant la matrice définie précédemment.( ∂f(X) · ∂g (X) − ∂f (X) · ∂g )(X)∂p i ∂q i ∂q i ∂p i{f(X), g(X)} = 〈 −−→ grad G(X), J · −−→ grad H(X)〉Proposition 1.2. On a la caractérisation suivante des intégrales premières :()dG( ) ()X (t) = 0 ⇔ {G(X), H(X)} = 0dtDémonstration.Rappelons tout d’abord que pour une fonction G des variables (q 1 , ...,q n , p 1 , ...,p n , t), ona la relation :n∑[( ) ( ) ]∂G ∂GdG = dq i + dp i + ∂G∂q i ∂p i ∂t dti=1On peut noter que les intégrales premières ne dépendent pas « explicitement »du temps,mais ce sont les variables conjuguées (p i , q i ) qui sont des fonctions du temps, de sorte quel’on a ∂H∂t= 0 On en déduit alors l’expression :dGdt = n∑i=1[( ∂G∂q i)·( ) ( ) dqi ∂G+ ·dt ∂p i( )] dpidt