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30 Cédric Moll2. La fonction hamiltonien représente, à une constante multiplicative près, une énergiemécanique, i.e, la somme d’une énergie potentielle et d’une énergie cinétique (cf.Exemple 1).Proposition 1.1. Le système peut s’éscrire aussi sous forme matricielle :avec J et X définis par :J =X ′ = J · −−→ grad H(X)( 0 In−I n 0)⎛et X =⎜⎝⎞q 1.q np 1⎟. ⎠p nDémonstration. En effet, le vecteur −−→ grad H(X) ∈ R 2n a pour terme général :−−→grad H(X) =⎛⎜⎝⎞∂H(q, p)∂q 1 .∂H(q, p)∂q n ∂H(q, p)∂p 1 . ⎟∂H ⎠(q, p)∂p nEt donc en effectuant le produit matriciel on obtient trivialement :⎛ ⎞ ⎛∂H⎛⎞0 . .. 0 1 . .. 0∂q 1. . . ... . . ...J · −−→∂H0 . .. 0 0 . .. 1grad H(X) =·∂q n−1 . .. 0 0 . .. 0∂H=⎜⎝ .. . ..⎟. . . . . ⎠∂p 10 . .. −1 0 . .. 0 ⎜ . ⎟ ⎜⎝ ∂H ⎠ ⎝∂p n∂H∂p 1.∂H∂p n− ∂H∂q 1.− ∂H⎞= X ′ ⎟⎠∂q n□