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Intégrabilité des systèmes hamiltoniens 29de leur trouver assez d’intégrales premières, et surtout parce que des expériences ou simulationsnumériques montrent un comportement chaotique incompatible avec le théorèmed’Arnold-Liouville.Le problème à n corpsLe plus célèbre est le problème « de la Lune »(problème de trois corps en interactiongravitationnelle). On sait que le problème à deux corps (Soleil-Terre) est intégrable (nousle traiterons par la suite en exemple 1). C’est même pour l’intégrer que Lagrange a introduitles prémisses de la géométrie symplectique et de la mécanique hamiltonienne.Dans ce dossier nous allons consacrer une première partie à nous familiariser avec lesnotions essentielles qui se rapportent aux systèmes hamiltoniens. Dans un deuxièmetemps nous verrons des critères de non intégrabilité des systèmes hamiltoniens pourpouvoir, dans une troisième partie, étudier le problème plan des trois corps, et prouver -comme l’a fait Poincaré avant nous - que ce dernier n’est pas intégrable.1 Géneralités1.1 Définitions et remarquesDans ce paragraphe nous allons définir les systèmes hamiltoniens, ainsi que les notionsessentielles qui se rapportent à l’étude de ces systèmes.Définition 1 (Système hamiltonien).Soient n ∈ N ∗ , ( q 1 , ...,q n , p 1 , ...,p n ) ∈ R n × R n .– Les variables p i et q i sont appel‘’ees varibles conjuguées.– L’entier n est appelé le nombre de degrès de liberté.Un système hamiltonien sur U ⊂ R 2n est un système d’équations différentielles de laforme :∀j ∈ [1; n],Avec H : U → R, la fonction hamiltonien.Remarque (Interprétation physique).⎧⎪⎨⎪⎩q ′ j = ∂H∂p j(q, p)p ′ j = − ∂H∂q j(q, p)1. Les variables p i (respectivement q i ) sont des impulsions (respectivement des positions).