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26 Cédric MollIntroductionLes hamiltoniens sont des objets mathématiques que l’on rencontre souventen physique et plus particulièrement en mécanique des solides. Pour mieuxcomprendre ce qu’est un hamiltonien, voyons d’abord un premier exemple :l’oscillateur harmonique.Fig. 1 – Oscillateur harmoniqueLe mouvement rectiligne du solide peut être décrit par l’équation différentielle :x ′′1 + ω 2 x 1 = 0Mais cette équation peut aussi s’écrire sous la forme d’un système différentiel, appelésystème hamiltonien :⎧x ⎪⎨′ 1 = ∂H (x 1 , x 2 )∂x 2avec⎪⎩x ′ 2 = − ∂H∂x 1(x 1 , x 2 )H = 1 2 ω(x2 1 + x 2 2)La fonction H est un hamiltonien : elle reprśente à une constante multiplicative près,l’énergie du solide. Si (x 1 , x 2 ) est une solution du système, alors H(x 1 , x 2 ) est constante aucours du temps. On dit alors que H est une intégrale première du système hamiltonien.Dans l’exemple, le fait que H soit constante est une conséquence de la conservation del’énergie mécanique du système.