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22 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreEn identifiant Gal(D/Q) à uynôn sous-groupe de S p d’après le lemme précédent,Gal(D/Q) contient une transposition (σ). Or, pour p premier, les éléments d’ordre p dansS p sont exactement les p-cycles. Donc Gal(D/Q) contient une transposition et un p-cycle.Proposition 3.23. Soit p un nombre premier τ ∈ S p une transposition, c ∈ S p un p-cycle.Alors τ et c engendrent S p .On a donc deux éléments de Gal(D, Q) qui engendrent S p donc Gal(D, Q) est isomorpheà S p .Théorème 3.24. le groupe S p est résoluble si et seulement si p 4.Exemple Soit f(X) = X 5 − 4X − 2 dans Q[X].On remarque que 2 divise a 0 = −2, 2 divise a 1 = −4 et 2 ne divise pas a 5 = 1.De plus, 2 2 = 4 ne divise pas a 0 = −2. Donc f(X) est un polynôme irréductible surQ[X], d’après le critère d’Eisenstein avec p = 2.On note que : f(−2) = (−2) 5 − 4 · (−2) − 2 = −26 < 0f(−1) = (−1) 5 − 4 · (−1) − 2 = 1 > 0f(0) = 0 5 − 4 · 0 − 2 = −2 < 0f(1) = 1 5 − 4 · 1 − 2 = −5 < 0f(2) = 2 5 − 4 · 2 − 2 = 22 > 0Or, la fonction polynôme f est continue de R dans R. Donc il existe α 1 , α 2 , α 3 réelstels que −2 < α 1 < −1 < α 2 < 0 < 1 < α 3 < 2 et f(α i ) = 0 pour i ∈ {1, 2, 3}.f ′ (X) = 5 · X 4 − 4 = ( √ 5 · X 2 − 2) · ( √ 5 · X 2 + 2)Le signe de f ′ (x) est celui de √ √5 · X 2 2− 2 qui s’annule pour x = ± √5. On pose alors√2β = √5et donc f ′ (β) = f ′ (−β) = 0.D’où le tableau de variation de la figure 1 ; et plus précisément celui de la figure 2.Donc on a : −2 < α 1 < −1 < β < α 2 < 0 < β < 1 < α 3 < 2 et f(X) a un maximumpositif f(−β) et un minimum négatif f(β).Donc f(X) a exactement trois racines réelles distinctes α 1 , α 2 et α 3 . Il y a donc deuxracines complexes, non réelles. Donc d’après la proposition précédente, le groupe de Galoisde f(X) est isomorphe au groupe symétrique S 5 , qui est non résoluble. Donc finalement,f(X) est non résoluble par radicaux.[Cal06, p178][Tau07, p187][Goz97, p175]