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La théorie de Galois 213.3 Exemple d’équation non résoluble par radicauxCritère d’Eisenstein Soit P le polynôme à coefficient entiers suivant : P(x) = a n ·x n +a n−1 · x n−1 + · · · + a 1 · x + a 0 .S’il existe un nombre premier p tel que p divise chaque a i sauf a n et p 2 ne divise pasa 0 , alors P(x) est irréductible sur Q[X].Proposition 3.17. Soient P ∈ Q[X] un polynôme irréductible de degré p premier, D ⊂ Cun corps de décomposition de P. On suppose que P possède exactement deux racines nonréelles. Alors Gal(D/Q) est isomorphe à S p , le groupe symétrique de degré p.Démonstration. [Tau07, p187] Si x ∈ C est racine de P, alors P est le polynôme minimalde x sur Q. D’où p = [Q[X] : Q].Or [D : Q] = [D : Q(x)].[Q(x) : Q] = [D : Q(x)].p donc p divise [D : Q] .Proposition 3.18. Soit L une extension finie de K. L’extension L de K est galoisiennesi et seulement s’il existe p ∈ K[X] \ K séparable sur K tel que L soit un corps dedécomposition de P sur K.Donc D est une extension galoisienne de K.Théorème 3.19. Soit L une extension de degré fini. L’extension L de K est galoisiennesi et seulement si card(Gal(L/K)) = [L : K].Donc [D : Q] = card(Gal(D/Q)).Théorème 3.20 (Théorème de Cauchy). Soient G un groupe fini de cardinal N et p undiviseur premier de N. Alors il existe un élément d’ordre p dans G.Donc ici, p divisant card(Gal(D/Q)), il existe un élément d’ordre p dans Gal(D/Q).C → CSoit σ : . σ ∈ Gal(C/Q). Comme car(Q) = 0, D est une extension galoisiennede par la propositionz ↦→ z3.9.Proposition 3.21. Soit L une extension de K contenue dans ˜K. Supposons que L estnormale sur K et soit M une sous-extension de L. ∀σ ∈ Hom K (M, ˜K), σ(M) ⊂ L et∃τ ∈ Gal(L/K) induisant σ sur M, i.e. τ = σ |M ∈ Gal(L/K).Ici, D est galoisienne dans Q, donc elle est, en particulier, normale. Donc σ |D ∈Gal(D/Q) d’après la proposition précédente. Or, P possède exactement deux racines nonréelles, qui sont forcément conjuguées. Donc σ échange nécessairement ces deux racines etfixe les racines réelles.Lemme 3.22. L’applicationest un homomorphisme injectif de groupes.θ: Gal(D/K) → S sσ ↦→ θ σ