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20 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreOr, Gal(D/K) est résoluble (ii) d’où, d’après la proposition 3.13, le groupe Gal(D(ξ)/L)est résoluble. D’après le lemme 2.31, Gal(D(ξ)/L) est isomorphe à un sous-groupe deGal(D/K).Donc s divise m.Si p est un diviseur premier de m, L contient alors les racines p-ièmes de l’unité.Lemme 3.14. Soit (G, ·) un groupe fini non réduit à {e}. G est résoluble si et seulements’il existe une suite normale G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ · · · ⊃ G m = {e} de sous-groupes de G telsque G i /G i+1 soit cyclique d’ordre premier pour 0 i m − 1.Comme Gal(D/K) est résoluble, d’après le lemme 3.14, il existe une suite normale àquotients successifs d’ordre p i premiers.Donc les entiers p i divisent s.Or, s divise m donc les p i divisent m.Posons L i = φ(G i ). D’après le théorème 2.28, on a K = L 0 ⊂ L 1 ⊂ · · · ⊂ L r−1 ⊂ L r =D(ξ).Théorème 3.15. Soit M une extension galoisienne de degré fini de K et E une sousextensionde M. Alors E est une extension normale de K si et seulement si E est uneextension galoisienne de K.Or, D(ξ) est une extension galoisienne de degré fini de L et L i+1 est une extensionnormale de L i (car on a une suite normale).D’où, d’après le théorème 3.15, L i+1 est une extension galoisienne de L i .On déduit du théorème 2.28 que Gal(L i+1 /L i ) est isomorphe à G i /G i+1 .Théorème 3.16. On suppose que K contient une racine primitive n-ième de l’unité. SoitM une extension cyclique de degré n de K. Il existe x ∈ M tel que M = K(x) et x n −1 = 0.Les p i sont des diviseurs premiers de m donc L contient les racines p i -èmes de l’unité(car L ⊂ L i ). L i+1 est une extension cyclique de degré p i de L.Donc, d’après le théorème 3.16, il existe x i+1 inL i+1 tel que L i+1 = L i (x i+1 ) et x p ii+1 −1 =0.Ainsi x p ii+1 = 1, donc L i contient les racines p i -èmes de l’unité.D’où, D(ξ) est une extension radicale de L = K(ξ), donc de K.Or, D ⊂ D(ξ) d’où D est une extension radicale de K.Donc, d’après la définition 3.6, P est résoluble par radicaux (i).D’où (ii) ⇒ (i).Donc (i) ⇔ (ii).[Cal06, p178][Tau07, p184][Goz97, p169]Enfin, voici un exemple d’équation non résoluble par radicaux.