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La théorie de Galois 19(i) K ⊆ D et P(X) est scindé sur D.(ii) (K ⊆ E ⊆ D et P(X) scindé sur E) ⇒ E = D.Or, d’après la définition 3.7, D est la plus petite extension de K telle que P soit scindésur K. Donc D ⊂ E d’où D est une sous-extension d’une extension radicale.Proposition 3.8. Soit M une sous-extension d’une extension radicale E de K.Alors si car(K) = 0, le groupe Gal(M/K) est résoluble.Or, car(K) = 0 d’où, d’après la proposition 3.8, le groupe Gal(D/K) est résoluble (ii).Donc (i) ⇒ (ii).Montrons que (ii) ⇒ (i) :Supposons Gal(D/K) résoluble (ii).Proposition 3.9. Soit K un corps de caractéristique nulle. Soit P ∈ (K[X] \ K) où K.Alors le corps de décomposition D de P sur K est une extension galoisienne finie.D’après la proposition 3.9, puisque car(K) = 0, D est galoisienne finie. Notons m sondegré, .Théorème 3.10. Soit M une extension de degré fini de K. Alors l’extension M de K estgaloisienne si et seulement si card(Gal(M/K)) = dim K M.Démonstration. [Tau07, p162]1) Supposons card(Gal(M/K)) = [M : K] = n.Proposition 3.11. Soient H et I des éléments de G. On suppose que H ⊂ I, quel’indice n de H dans I est fini, et que H est stationnaire. Alors I est stationnaire et ona [φ(H) : φ(I)] = n.On applique la proposition avec I = Gal(M/K) et H = {id M } ;et comme Ksubsetφ(Gal(M/K)), il vient : n = [M : K] [M : φ(Gal(M/K))] = (I :H) = n.D’où K = φ(Gal(M/K)) = M Gal(M/K) .Théorème 3.12. Soit M une extension algébrique de K. Alors l’extension M de Kest galoisienne si et seulement si K = M Gal(M/K) .Ainsi M est galoisienne sur K, d’après ce théorème.2) Réciproquement, d’après le théorème 2.28, on a le résultat.Donc, d’après le théorème 3.10, m = card(Gal(D/K)).Soit ξ une racine primitive m-ième de l’unité et L = K(ξ).D’où, d’après le lemme 2.31, D(ξ) est une extension galoisienne de L. Donc, d’après lethéorème 3.10, card(Gal(D(ξ)/L)) = dim L D(ξ). Posons s = dim L D(ξ).Proposition 3.13. En conservant les notations du lemme précédent, le groupe Gal(M/K)est résoluble si et seulement si le groupe Gal(M(S)/L) est résoluble.