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18 Ophélie Cinarelli – Emanuelle CloîtreExemple d’équation résoluble par radicauxD’après la proposition précédente, choisissons un polynôme de degré inférieur ou égal à4. Considérons donc le polynôme irréductible de degré 2 à coefficients rationnels : P(X) =X 2 + 2. Alors, les racines de P sont i √ 2 et −i √ 2.Méthode 1 Le corps L = Q[i √ 2] = a + i √ 2.b, a ∈ Q, b ∈ Q = Q(1, i √ 2) est un corpsde décomposition de P sur Q. On note L 0 = Q, L 1 = Q(1) et L 2 = Q(1, i √ 2) , ( i √ 2 ) 2=−2 ∈ L 1 . On a donc bien l’existence de x 1 = 1, x 2 = i √ 2 et des entiers non nuls m 1 = 1et m 2 = 2 tels que : L = Q(1, i √ 2) et x m ii inL i−1 . Donc L est une extension radicale de Q.Donc en utilisant la définition précédente, l’équation est résoluble par radicaux.Méthode 2 On considère le même corps de décomposition de P que dans la méthode 1.On a P(X) = (X−i √ 2).(X+i √ 2) = X 2 −(i √ 2+(−i √ 2)).X+(i √ 2).(−i √ 2). Si on permuteles racines dans l’équation, celle-ci reste inchangée car i √ 2 + (−i √ 2) = −i √ 2 + i √ 2 = 0et i √ 2. − i √ 2 = −i √ 2.i √ 2. On pose T la permutation suivante :( √ √ ) i 2 −i 2T =−i √ 2 i √ 2Alors le groupe de Galois de P est {Id, T }. Les commutateurs de Gal(Q[i √ 2]/Q) sont dela forme Id.T.Id −1 .T −1 = Id qui est l’élément neutre de Gal(Q[i √ 2]/Q) donc on a bienl’existence d’un n = 0 tel que D n (Gal(Q[i √ 2]/Q)) = Id. Donc le groupe de Galois estrésoluble et donc d’après le théorème, P = 0 est résoluble par radicaux.Théorème 3.5 (Théorème de Galois). Soient K un corps de caractéristique nulle, P ∈(K[X] \ K) et D un corps de décomposition de P sur K. Alors, les assertions suivantessont équivalentes :(i) P est résoluble par radicaux;(ii) Le groupe Gal(D/K) est résoluble.Démonstration. [Tau07, p185] Soient K un corps de caractéristique nulle, P ∈ (K[X] \K)et D un corps de décomposition de P sur K. Montrons que (i) ⇒ (ii) : Supposons Présoluble par radicaux (i).Définition 3.6. Soit P ∈ (K[X] \ K) où K est une extension de corps. On dit que lepolynôme P est résoluble par radicaux ou que l’équation P = 0 est résoluble par radicaux,s’il existe une extension E d’un corps de décomposition de P sur K telle que E soit uneextension radicale de K.D’après la définition 3.6, il existe une extension E du corps de décomposition D sur Ktelle que E soit une extension radicale de K.Définition 3.7. Etant donné un polynôme P(X) non constant dans K[X], on appelleracorps de décomposition de P sur K, toute extension D de K vérifiant :