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La théorie de Galois 17D’après cette proposition, il existe P ∈ K[X] \ K séparable sur K tel que M soit uncorps de décomposition de P sur K. Alors, M(S) est le corps de décomposition de {P, Q}dans K car ξ est racine de Q. M(S) est aussi un corps de décomposition de {P, Q} surK(S).Théorème 2.33. Soit M une extension algébrique de K. Alors l’extension M de K estgaloisienne si et seulement s’il existe une famille F de polynômes de K[X] \ K séparablessur K, telle que M soit un corps de décomposition de F sur K.L’extension M(S) de K(S) est donc galoisienne.Enfin, appliquons la théorie de Galois à son intérêt premier, la résolution des équationspar radicaux.[Cal06, p118][Tau07, p155][Goz97, p130]3 Résolution des équations par radicauxVoyons, tout d’abord, des résultats sur les extensions radicales.3.1 Extensions radicalesDéfinition 3.1. Une extension L de K est dite radicale s’il existe et des entiers vérifiantles conditions suivantes :1. L = K(x 1 , ...,x n );2. notant L 0 = K et L i = K(x 1 , ...,x i ) pour 1 i n, on a alors x m ii ∈ L i−1 .Théorème 3.2. Si L est une extension radicale de K, Gal(L/K) est un groupe résoluble.[Cal06, p176][Tau07, p182][Goz97, p172]Traitons un exemple d’équation résoluble par radicaux.3.2 Equations résolubles par radicauxDéfinition 3.3. Soit P ∈ (K[X] \ K) où K est une extension de corps. On dit que lepolynôme P est résoluble par radicaux ou que l’équation P = 0 est résoluble par radicaux,s’il existe une extension L d’un corps de décomposition de P sur K telle que L soit uneextension radicale de K.Proposition 3.4. Soit K un corps de caractéristique nulle. Si P ∈ (K[X] \ K) vérifiedeg P 5, alors P n’est pas résoluble par radicaux.